应力圆法

§7-3平面应力状态分析-图解法(Analysisofplanestress-statewithgraphicalmeans)cossinsincos2222222xyyxxyyxyx一、莫尔圆（Mohr’scircle）将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去,得222222xyyxyx)()(因为x,y,xy皆为已知量,所以上式是一个以,为变量的圆周方程.当斜截面随方位角变化时,其上的应力,在-直角坐标系内的轨迹是一个圆.1.圆心的坐标（Coordinateofcirclecenter）),(02yxC2.圆的半径（Radiusofcircle）222xyyxR)(此圆习惯上称为应力圆（planestresscircle）,或称为莫尔圆（Mohr’scircle）（1）建-坐标系,选定比例尺o二、应力圆作法（Themethodfordrawingastresscircle）1.步骤（Steps）xyxxyxxyyyDo（2）量取OA=xAD=xy得D点xyxxyxxyxAOB=y（3）量取BD′=yx得D′点yBD′（4）连接DD′两点的直线与轴相交于C点（5）以C为圆心,CD为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C（1）该圆的圆心C点到坐标原点的距离为（2）该圆半径为222xyyxR)(DoxAyBD′C2.证明(Prove)22121yxOBOAOBOAOBOC)()(22222xyyxADCACD)(2yx三、应力圆的应用（Applicationofstress-circle）1.求单元体上任一截面上的应力（Determinethestressesonanyinclinedplanebyusingstress-circle）从应力圆的半径CD按方位角的转向转动2得到半径CE.圆周上E点的坐标就依次为斜截面上的正应力和切应力.DoxAyBD′C20FE2xyaxxyxxyefn)22cos(0CEOCCFOCOF222200sinsincoscosCDCDOC2222sincosxyyxyx22222200sincoscossin)sin(CDCDCEFEo222cossinxyyx证明：（1）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标.说明AB（2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.2OCBA2.求主应力数值和主平面位置（Determineprinciplestressandthedirectionofprincipleplanebyusingstresscircle）（1）主应力数值A1和B1两点为与主平面对应的点,其横坐标为主应力1,21221122max)(xyyxyxCAOCOA2221122min)(xyyxyxCBOCOB12DoxAyBD′C20FE2B1A120DoxAyBD′C12A1B1（2）主平面方位由CD顺时针转20到CA1所以单元体上从x轴顺时针转0（负值）即到1对应的主平面的外法线yxxyCADA220)(tanyxxy220tan)(tanyxxy22100确定后,1对应的主平面方位即确定3.求最大切应力（Determinemaximumshearingstressbyusingstresscircle）G1和G两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力20DoxAyBD′C12A1B1G1G2max)(2212xyyxCGmin)(2222xyyxCG221minmax因为最大最小切应力等于应力圆的半径3080°0.203060°0.60.4-40-40例7-4-1已知求此单元体在＝30°和＝-40°两斜截面上的应力。，，MPaMPayx2.01，，MPaMPayxxy2.02.0例7-4-2：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁件受扭转时的破坏现象。解：1．取单元体ABCD，其中，，这是纯剪切应力状态。,0yxxyPWT2．作应力圆主应力为，并可确定主平面的法线。31,3．分析纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等，但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为45º的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。已知受力物体内某一点处三个主应力1,2,3利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力.一、空间应力状态下的最大正应力和最大切应力(themaximumnormalstressandshearstressinthree-dimensionalstress-state)§7-4三向应力状态分析（analysisofthree-dimensionalstress-state）31223113首先研究与其中一个主平面（例如主应力3所在的平面）垂直的斜截面上的应力122用截面法,沿求应力的截面将单元体截为两部分,取左下部分为研究对象21主应力3所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力,与3无关,只由主应力1,2决定与3垂直的斜截面上的应力可由1,2作出的应力圆上的点来表示123321该应力圆上的点对应于与3垂直的所有斜截面上的应力A1O2B与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由1,3作出的应力圆上的点来表示C3与主应力１所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由2,3作出的应力圆上的点来表示该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc12123A1O2BC3结论三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大应力圆上A点的横坐标11maxA1O2BC3最大切应力则等于最大的应力圆的半径最大切应力所在的截面与2所在的主平面垂直,并与1和3所在的主平面成45°角.)(2131max例题9单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.解:该单元体有一个已知主应力MPa20z因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.求另外两个主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPaMPaMPaMPaMPa20202040yxyxyx由x,xy定出D点由y,yx定出D′点以DD′为直径作应力圆A1,A2两点的横坐标分别代表另外两个主应力1和3A1A2D′OD131=46MPa3=-26MPa该单元体的三个主应力1=46MPa2=20MPa3=-26MPa根据上述主应力，作出三个应力圆MPamax36§7-5平面应变状态分析(Analysisofplanestrain-state)平面应力状态下，已知一点的应变分量x,y,xy，欲求方向上的线应变和切应变,可根据弹性小变形的几何条件,分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量x,y,xy在此方向上引起的线应变及切应变,再利用叠加原理.一、任意方向的应变(Thestrainofanydirection）2222cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyxασσσσσσσ])()[(2122minmaxxyyxyxγεεεεεεyxxy02tg二、主应变数值及其方位(Theprincipalstrainsandit’sdirection)