第六章简单的超静定问题

((SimpleStaticallyIndeterminateProblemsSimpleStaticallyIndeterminateProblems))第六章第六章简单的超静定问题简单的超静定问题§6-1超静定问题及其解法超静定问题及其解法结构按静力学特性可以分成结构按静力学特性可以分成静定静定结构和结构和超静定超静定结构两类。结构两类。FaAB如图所示，求固定端的约束反力如图所示，求固定端的约束反力平面任意力系，通过静力学平衡方平面任意力系，通过静力学平衡方程可以解出全部的三个约束反力。程可以解出全部的三个约束反力。若在若在CC处增加一个约束处增加一个约束则无法则无法仅仅通过通过静力学平衡方程静力学平衡方程求出求出全部全部的四个的四个未知力未知力。。FaAB11、静定结构和超静定结构、静定结构和超静定结构若结构的全部约束反力和内力若结构的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得，称都可由静力平衡方程求得，称为为静定结构静定结构。。若结构的约束反力与内力不能仅仅根若结构的约束反力与内力不能仅仅根据静力平衡方程求出，称为据静力平衡方程求出，称为超静定结超静定结构构或或静不定结构静不定结构。。FaAB11、静定和超静定结构、静定和超静定结构--多余约束多余约束比较上下两图，下面的图中是在上面比较上下两图，下面的图中是在上面的图中增加了一个约束。的图中增加了一个约束。在静定结构上增加的约束在静定结构上增加的约束————多余约束多余约束相应的反力称为相应的反力称为多余约束力多余约束力。。多余约束并不多余约束并不““多余多余””，通过增加多余约束，，通过增加多余约束，有效降低结构的内力及变形，可提高安全度。有效降低结构的内力及变形，可提高安全度。解除多余约束代之于未知力后的结解除多余约束代之于未知力后的结构构————基本静定系（相当系统）基本静定系（相当系统）22、超静定结构的类型、超静定结构的类型外力超静定结构外力超静定结构仅在结构外部存在多余约束，即支座反仅在结构外部存在多余约束，即支座反力不能全由静力平衡方程求出。力不能全由静力平衡方程求出。22、超静定结构的类型、超静定结构的类型内力超静定结构内力超静定结构仅在结构内部存在多余约束，即结构内力仅在结构内部存在多余约束，即结构内力不能全由静力平衡方程求出。不能全由静力平衡方程求出。内、外内、外超静定超静定兼而有之的结构。兼而有之的结构。22、超静定结构的类型、超静定结构的类型混合超静定结构混合超静定结构22、超静定结构的类型、超静定结构的类型第一类第二类第三类33、超静定次数、超静定次数超静定超静定结构的内外约束力总数或内力数要多于静力结构的内外约束力总数或内力数要多于静力平衡方程，其差值称为平衡方程，其差值称为超静定超静定次数次数。。结构的结构的超静定超静定次数就次数就于它的多余约束力数于它的多余约束力数超静定次数超静定次数==未知力个数未知力个数––独立平衡方程数独立平衡方程数超静定问题的解法：超静定问题的解法：综合考虑变形的综合考虑变形的几何相容条件几何相容条件、物理关系和、物理关系和静力学平衡条件。静力学平衡条件。关键：关键：几何相容条件（变形协调条件）几何相容条件（变形协调条件）11、静力平衡（不足）、静力平衡（不足）22、变形几何（补充）、变形几何（补充）33、物理本构（沟通）、物理本构（沟通）CBDAF如图所示，求三杆的轴力如图所示，求三杆的轴力问题问题::这个结构是静定的？超静定的？这个结构是静定的？超静定的？超静定超静定次数次数??§6-2拉压超静定问题拉压超静定问题对对AA点分析：三杆的轴力与外力点分析：三杆的轴力与外力FF构构成平面汇交力系。成平面汇交力系。平面汇交力系的独立平衡方程数是平面汇交力系的独立平衡方程数是22未知力个数是未知力个数是33因此这个结构是因此这个结构是次超静定。次超静定。11例例11已知已知:1:1、、22杆抗拉刚度为杆抗拉刚度为EE11AA11,3,3杆抗拉刚度为杆抗拉刚度为EE33AA33,,FF，，求各杆内力。求各杆内力。解解::分析分析AA结点结点0xFFFAA112233l0yFN1N2FFAAFFFFN3N3FFN1N1FFN2N2N1N2N3()cosFFFF通过三杆的变形及通过三杆的变形及AA点的位移找出点的位移找出补充方程补充方程————变形变形几何相容方程几何相容方程33、物理关系、物理关系22、考虑变形几何相容条件、考虑变形几何相容条件由对称性知由对称性知::AA112233l12ll13cosllN1111cosFllEAN3333FllEAAA**44、联解方程、联解方程211N13113333N331133cos2cos2cosEAFFEAEAEAFFEAEA思考：思考：已知长为已知长为LL、抗压刚度为、抗压刚度为EE11AA11的圆杆的圆杆,,放于同样放于同样长度、抗压刚度为长度、抗压刚度为EE22AA22的圆筒内的圆筒内,,两端固定，承两端固定，承受如图作用力受如图作用力PP，，求各部分的内力。求各部分的内力。1122N1N211221122,EAEAFPFPEAEAEAEA内力按刚度分配内力按刚度分配装配应力的计算：装配应力的计算：超静定结构中由于加工误超静定结构中由于加工误差，差，装配产生的应力。装配产生的应力。平衡方程：平衡方程：几何相容条件：几何相容条件：N1N2FFN3N1N2()cosFFF13cosllAA1l2l3lAA112233llAAN1N1FFN3N3FFN2N2FF例例22图示图示ABAB为刚性梁，为刚性梁，11、、22两杆的抗拉（压）刚度两杆的抗拉（压）刚度均为均为EAEA，制造时，制造时11杆比原长杆比原长ll短短，将，将11杆装到横梁杆装到横梁后，求两杆内力。后，求两杆内力。BBAA2211解解::11杆伸长杆伸长22杆缩短杆缩短装配后各杆变形装配后各杆变形1l2l1l2l几何相容条件几何相容条件212ll)(aaaa分析分析ABABBBAAFF11FF22FFAA1220aFaF物理方程物理方程11FllEA22FllEA((缩短缩短))几何相容条件几何相容条件122()ll145EAFl((拉力拉力))225EAFl((压力压力))((伸长伸长))A85kNF1.2m1.2m2.4m2.4m1.2m1.2mAACCBB60kN60kN40kN40kNB15kNF思考：思考：图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距离离=1mm=1mm，材料的弹性模量，材料的弹性模量E=210GPaE=210GPa，上下，上下两段杆的横截面面积分别为两段杆的横截面面积分别为600mm600mm22和和300mm300mm22。。试作杆的轴力图。试作杆的轴力图。温度应力的计算：温度应力的计算：lABtllABFAF温度由1221ttttt,平衡方程平衡方程0BAFF变形相容条件变形相容条件tFlltllt物理方程物理方程温度应力：温度应力：超静定结构中，由于温度变超静定结构中，由于温度变化，使构件膨胀或收缩而产生的附加应力。化，使构件膨胀或收缩而产生的附加应力。BFlLtEA温度应力：温度应力：BFEtAQ235低碳钢线膨胀系数为1612.510CBFEAt2.5MPat200GPaE235MPas170MPa80C,200MPat伸缩节伸缩缝MMeeCCBBAAaabb例例33两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆ABAB，在截面，在截面CC受外力受外力偶矩偶矩MMee作用，求杆两端的支座反力偶矩。作用，求杆两端的支座反力偶矩。§6-3扭转超静定问题扭转超静定问题解：解：ABeMMM静力平衡方程为：静力平衡方程为：0ABACCB几何相容条件为：几何相容条件为：0ABppMaMbGIGI即：即：AeMMblBeMMalMMeeCCBBAAɑɑbbMMeeMMBBMMAA用用““多余未知力多余未知力””代替代替““多余多余””约束，就得到约束，就得到一个形式上的静定梁一个形式上的静定梁该梁称为原静不定梁的该梁称为原静不定梁的相当系统相当系统,,亦称亦称基基本静定系本静定系综合考虑变形的几何方程、力和变形关系综合考虑变形的几何方程、力和变形关系可求解多余未知力可求解多余未知力§6-4简单超静定梁简单超静定梁基本静定系基本静定系11llqqAABBqqAABBFFBBqqBBAAMMAA基本静定系基本静定系22超静定问题超静定问题qqAABBll例例44已知长度为已知长度为ll、弯曲刚度为、弯曲刚度为EIEI，的悬臂梁，的悬臂梁承受均布荷载，承受均布荷载，求图示静不定梁的支反力求图示静不定梁的支反力解法一：解法一：将支座将支座BB看成看成多余约束，几何相容条多余约束，几何相容条件为：件为：AABBqqllAABBqqFFBB0Bw08343EIqlEIlFB83qlFB解法二：解法二：将支座将支座AA对截面对截面转动的约束看成多余约转动的约束看成多余约束，几何相容条件为：束，几何相容条件为：AABBqqllqqBBAAMMAA0A02433EIqlEIlMA82qlMAPPAABBCCDDaaaa例例55为了提高悬臂梁为了提高悬臂梁ABAB的强度和刚度，用短的强度和刚度，用短梁梁CDCD加固。设二梁加固。设二梁EIEI相同，求相同，求(1)(1)二梁接触处的作用力；二梁接触处的作用力；(2)(2)加固前后加固前后BB点挠度的比值；点挠度的比值；(3)(3)加固前后加固前后ABAB梁昀大弯矩的比值。梁昀大弯矩的比值。解：解：(1)基本静定系如图PPAABBCCDDDD11XX11XX11几何相容条件为：1DDwwEIaXwD331CCDDPPAABBDD11XX113311536DXaPawEIEIAABBDD11XX11PPAABBDD111DDwwEIaXwD331EIPaEIaXwD6533311PX451(2)(2)加固前后加固前后BB点挠度变化值（变小）点挠度变化值（变小）EIPaaEIaXEIaXwB24252332131(2)(2)加固后加固后BB点挠度的变化值（变小）点挠度的变化值（变小）EIPaaEIaXEIaXwB24252332131EIPawB3830加固前加固前BB点挠度为：点挠度为：加固前后加固前后BB点挠度的比值点挠度的比值64390001BBBBBPPAABBDD11XX11(3)(3)加固前后加固前后ABAB梁昀大弯矩的比值梁昀大弯矩的比值PaM20max加固前加固前ABAB梁昀大负弯矩梁昀大负弯矩加固后加固后ABAB梁昀大弯矩梁昀大弯矩PaMMD11max昀大负弯矩昀大负弯矩（（思考思考::为何昀大负弯矩在为何昀大负弯矩在DD11处处??））例例66图示结构图示结构ABAB梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为EIEI，，CDCD杆杆的抗拉刚度为的抗拉刚度为EAEA，已知，已知PP、、LL、、aa。求。求CDCD杆所受的拉力。杆所受的拉力。PPAABBCCDDaa2L2LDDaaCC解：解：几何相容条件为几何相容条件为PPAABBCC2L2LCDClwCFEILFPwCC483)(EALFlCCDCF例例77如图所示双跨简支梁受集中力如图所示双跨简支梁受集中力FF作用，求约束作用，求约束反力，并画出剪力图和弯矩图。反力，并画出剪力图和弯矩图。ABCqP=qlll/2l/2以支座以支座BB为多余约束为多余约束相当系统相当系统在在PP单独作用下单独作用下411196BqlwEI在在FFB