《奇偶性与对称性、周期性的关系》教案全面版

《奇偶性与对称性、周期性的关系》教案贵州省德江一中杨正稳一、教材背景分析:1、函数的奇偶性主要与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多；是高考重点考查内容.2、重点、难点分析：重点是函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断，难点是对函数奇偶性的概念的理解和综合运用。3、解决奇偶性、对称性、周期性的综合性问题是学生的难点，多与抽象函数有关，故这四节课是作为高三复习专题讲座而设计。二、教学目标设计（一）知识目标：.从形和数两个方面进行引导，使学生理解奇偶性的概念,会利用定义及其图像解决复合函数的奇偶性、对称性、周期性的综合性问题。（二）能力目标：在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.（三）情感目标：培养学生勇于探究问题的精神.享受文字语言，符号语言，图像语言相互转化的乐趣。三、教法学法设计1．教学方法：启发引导式结合本章实际，及其高考的有关要求，重在应用、解决实际问题，本节课准备采用＂引导发现法＂进行教学，引导发现法可激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣。2．学法指导：引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。让每一位学生都能参与研究，并最终学会学习．四、教学过程设计复习旧课一、奇偶性与对称性的等价关系1、（提问）什么叫做奇函数与偶函数？2、（提问）奇函数与偶函数的图像有哪些性质？归纳小结1：oxyy=f(x+a)-aaoxyy=f(x)oxyy=f(x+a)-aay=f(x)()fx是奇函数()()fxfx()fx的图像关于原点中心对称。()fx是奇函数()()fxfx()fx的图像y轴对称。新课二、()yfx与()yfxa图像的关系1、（提问）()yfxa的图像怎样由()yfx的图像而得到？2、（提问）如果()yfx是奇函数，那么()yfxa的图像具有什么性质？为什么？说明：学生回答正确与否教师都应画出下面的图像加以强调与说明。加强学生对奇偶性与对称性等价关系的理解。归纳小结2：()fx是奇函数()()fxfx()fx的图像关于原点中心对称()fxa的图像关于点(,0)a中心对称()(2)fxafax说明：（1）、()fxa的图像关于点(,0)a中心对称()(2)fxafax的证明，教师可以根据班级情况来确定是否给出证明。（2）、教师要强调图象语言，文字语言，与符号语言之间的相互转换关系及其符号语言的特征。这是因为在高考试题中多以符号语言出现。3、（提问）如果()yfxa是奇函数，那么()yfx的图像具有什么性质？为什么？-8-6-2268xxxx1234y=myx归纳小结3、()yfxa是奇函数()fxa的图像关于原点中心对称()()fxafxa()yfx的图像关于(,)ao中心对称。三、学生探究过程4、如果()yfx是偶函数，那么()yfxa的图像具有什么性质？为什么？5、如果()yfxa是偶函数，那么()yfx的图像具有什么性质？为什么？6、由4、5、你归纳的结论是什么？四、奇偶性、对称性与周期性关系的综合运用（1）奇偶性+周期性对称性例1、定义在R上的奇函数fx满足(4)(),fxfx且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)fxmm，在区间[8,8]上有四个不同的根1234,,,xxxx，则1234xxxx（2009山东理16）解：由(4)(),fxfx得fx的周期8T，又fx是奇函数，所以()()fxfx，从而(4)()fxfx，所以fx关于2x对称，根据奇偶性，对称性，单调性得()fx的图像大致图像如右图所示，从而1262xx，3422xx，12348xxxx例2、定义在R上的奇函数fx满足(4)(),fxfx且在区间[0,2]上是增函数,则()A、(25)(11)(80)fffB、(80)(11)(25)fffC、(11)(80)(25)fffD、(25)(80)(11)fff(2009山东文12)解：(4)(),fxfx(8)(),fxfx8T(25)(2583)(1)fff，(80)(0810)(0)fff(11)(38)(3)(34)(1)(1)ffffff（说明：也可以根据(4)(),fxfx且()()fxfx得(4)()fxfx，从而()fx关于2x对称，从而(3)(7)(78)(1)ffff）()fx在区间[0,2]上是增函数，(0)(1)ff又()fx为奇函数，()fx在[2,0]上也是增函数(1)(0)ff(1)(0)(1)fff即：(25)(80)(11)fff例3、定义在R上的函数fx满足2log(1),0()(1)(2),0xxfxfxfxx则(2009)f的值为()A、1B、0C、1D、2（2009山东理10文7）解：当1x时，()(1)(2)fxfxfx(1)(2)(3)fxfxfx()(3)fxfx，即：(3)()fxfx，从而(6)()fxfx，6T22(2009)(63345)(5)(1)log1ffff例4、设()fx是(,)上的奇函数，(2)()fxfx，当01x时，()fxx，(7.5)f等于（）A、0.5B、0.5C、1.5D、1.5（96全国）（解略）（2）对称性+对称性周期性例5、如果函数fx在定义域内关于xa，xb对称，则函数fx是周期函数证明（略）例1、设函数)7()7(),2()2(),()(xfxfxfxfxf上满足在，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(ff（Ⅰ）试判断函数)(xfy的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(xf在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.（2005广东19）解：（Ⅰ）定义域为R，又(0)0f()yfx不是奇函数由(2)(2)()(4)(4)(14)(7)(7)()(14)fxfxfxfxfxfxfxfxfxfx)10()(xfxf,从而知函数)(xfy的周期为10T在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(ff(3)(7)0ff所以(3)(3)ff，从而图像不关于y轴对称，故函数)(xfy是非奇非偶函数;(II)又(3)(1)0,(11)(13)(7)(9)0ffffff故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(xfy在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数)(xfy在[-2005,2005]上有802个解.（3）奇偶性+对称性周期性例6、设()fx是定义在R上的偶函数，其图象关天直线1x对称，对任意121,0,2xx都有1212()()()fxxfxfx（1）设(1)2f，求11(),()24ff（2）证明()fx是周期函数（2001全国）解：（1）由1212()()()fxxfxfx，121,0,2xx知()()()022xxfxff0,1x2111(1)()()()222ffff(1)2f121()22f21111()()()()2444ffff121()22f141()24f(2)()yfx关于直线1x对称，故()(2)fxfx又()yfx是偶函数()()fxfx(2)()fxfx()fx是周期函数，且2是它的一个周期说明：函数模型为2xy（4）、奇偶性+奇偶性周期性+奇偶性常用结论：1、若函数()fx的定义域为R，且()fxa与()fxb都是奇函数，则函数()fx是周期函数，且2()Tab，(),()fxaTfxbT都是奇函数。证明：()fxa与()fxb都是奇函数()(),()()fxafxafxbfxb，由()()fxbfxb得(2)()fxabfxa，从而(2)()fxabfxa，故222()Tabab。()(),()()fxaTfxaTfxbTfxbT，即(),()fxaTfxbT都是奇函数。2、若函数()fx的定义域为R，且()fxa与()fxb都是偶函数，那么函数()fx是周期函数，且2Tab或2Tba，(),()fxaTfxbT都是偶函数。证明：()fxa与()fxb都是偶函数，()(),()()fxafxafxbfxb，由()()fxbfxb得()[()]()fxabfxabbfxa，从而()()fxabfxa，故函数()fx是周期函数,且2Tab，同理可得2Tba，从而(),()fxaTfxbT都是偶函数。3、若函数()fx的定义域为R，且()fxa是奇函数，()fxb是偶函数，那么函数()fx是周期函数，且4()Tab，()fxaT是奇函数，()fxbT是偶函数。（证明略）例7、函数()fx的定义域为R，若(1)fx与(1)fx都是奇函数，则(D)(A)()fx是偶函数(B)()fx是奇函数(C)()(2)fxfx(D)(3)fx是奇函数（2009全国卷一理11）解法一：(1)fx与(1)fx都是奇函数，(1)(1),(1)(1)fxfxfxfx，函数()fx关于点(1,0)，及点(1,0)对称，函数()fx是周期2[1(1)]4T的周期函数.(14)(14)fxfx，(3)(3)fxfx，即(3)fx是奇函数。故选D解法二：(1)fx与(1)fx都是奇函数，(1)(1),(1)(1)fxfxfxfx由(1)(1)fxfx得(3)(1)fxfx，又(1)(1)fxfx(1)(3)fxfx4T(14)(14)fxfx，(3)(3)fxfx，即(3)fx是奇函数。故选D（5）、周期性+奇偶性()0fx根的多少问题例8、定义在R上的函数)(xf既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程0)(xf在闭区间TT,上的根的个数记为n，则n可能为（A）0（B）1（C）3（D）5（2007安徽理11）解：定义在R上的函数)(xf是奇函数，(0)0f，又是周期函数，T是它的一个正周期，∴()()0fTfT，()()()()2222TTTTfffTf，∴()()022TTff，则n可能为5，选D。说明：可以借助sinyx的图像进行讲解。由例8、可以看出，如果()yfx是定义在R上的奇函数，其T是它的一个正周期，那么有()()(0)()()022TTfTffffT只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，