植树问题不一定是植树的

“‘植树问题’不一定是植树的”———注重模型思想渗透的植树问题教学设计唐彩斌孔慰“植树问题”在传统小学数学教材中属于典型的应用题，2011年课程标准修订以后，“植树问题”又成为数学学习的主要内容，引发广大教师的关注。“植树问题”在新的课程体系中将承载怎样的教学任务？可以设置怎样的教学目标？怎样设计课堂教学？预期达到怎样的教学效果？笔者对这节课进行了教学实践与思考。一、教学目标从单一走向丰富，需要在多元中选择适切的目标。作为数学学习任务的“植树问题”，最基本的目标应该是学生能学会解决“植树问题”常见的三种不同类型的问题。如数学家华罗庚所说“学数学不做题目,等于入宝山而空返”。因此，知识技能维度的目标，应该确定为“经历解决问题的过程，学会解答常见的植树问题；提高解决实际问题的能力”。对于“植树问题”，在主干目标不变的前提下，应丰富学习的内涵，即基于“经历探索植树问题规律的过程”，渗透模型和对应等基本思想，积累“分门别类地分析问题、解决问题，发现不同问题背后相同的规律”等活动经验，在解决问题的过程中，渗透“化曲为直”等解决问题的策略。从情感、态度、价值观的维度来看，是希望学生在富有现实趣味和挑战的情境中，培养学生应用数学的意识和学习数学的兴趣。对于“植树问题”，很多教师还关注到一种“化繁为简”的解决问题策略：在教学中，出示一个数量比较大的“路长”，在解决问题的过程中引导学生“变短”，渗透“化繁为简”策略。在笔者进行的多次教学实践中发现，这种简单的计算对于高年级的学生来说不足以驱动其主动“化简”，略显牵强，所以在本课教学的目标定位上，就没有把它作为目标之一。二、教学情境的创设从激发兴趣到激活经验，从近迁移到远迁移。课堂教学的时间每分每秒都很珍贵，有时在教学情境的创设上煞费工夫，到头来只是为了引发学生表面上的兴趣，事倍功半，得不偿失。“用最短的时间把孩子的注意力聚焦到要解决的重要问题上”是笔者在创设情境时的指导思想。因此，在本节课的教学中，笔者就开门见山，直接引导学生进入“思辨”的状态。师：同学们，今天我们要来学习植树问题，请问：植树问题是不是植树的问题？请每一个孩子表达自己的意见，举手表决。认为植树问题就是植树的问题的请举手（稍停一下），认为植树问题不是植树的问题的请举手。老师发现有的同学两次都没有举手，请没有举手的同学举手。教学的导入从这样低起点的“安全”的问题开始，仅凭着学生的已有认知，让每一个人表达自己的意见。别看“请没有举手的同学举手”好像只是语言上的变化，实际上是提出了一种人人参与的课堂要求，不管对错，都要积极表达自己的思考。这对营造一种安全、平等、自由、民主的课堂氛围有积极的作用。植树问题到底是不是就是植树的问题？今天，我们从一组图片的思维热身开始。看图说一说“几个钉子几幅画”。第一组：。如果按这样的规律排下去，5个钉子几幅画？几个钉子6幅画？7个钉子几幅画？教学时，让学生轮流问答。笔者教学时会改变问题，问学生：你猜老师会怎么问你？学生总是问：8个钉子几幅画？笔者回应：不是的。学生总会会心一笑继续猜测，直到老师问：钉子和画有什么关系？学生感悟：钉子和画的数目一样多。第二组。如果按这样的规律排下去，5个钉子几幅画？几个钉子6幅画？8个钉子几幅画？教学时，再次问学生：你猜老师会怎么问你？学生总是问：钉子和画有什么关系？引导学生发现：钉子和画的数目不一样多了，钉子的个数比画的张数大1。设计这样的教学情境，一方面比较适合学生的认知起点，也能激发起学生的兴趣，但更为重要的是积累对本节课学习有用的经验，从而在学习“植树问题”时能激活这些经验，有时钉子和画一一对应，有时钉子和画不一一对应，从数学思想上为学生的学习作准备。有时，我们把学生即将要学习的较为复杂的教学内容，在教学准备环节分解或者简化，努力促使学生将在解决简单问题时形成的经验迁移到后续要学习的内容上，这种迁移在很大程度上属于近迁移。考量学生的数学能力强弱关键的素养是远迁移，即后续问题情境发生了改变，变得不相似了，学生是否依然能顺利应用经验加以解决。三、教学重点的突破是各个击破还是整体解决，是层层铺陈还是直面挑战。无论是教材的编排还是教师教学的设计，都有一种常见的策略：把“植树问题”的三种类型各个击破。第一节课先讲“两头都种”的，再用第二节课来讲“只种一头”和“两头都不种”的，先学习部分，再形成整体。笔者认为，尽管这样处理，从知识和技能的掌握来说，应该会显得扎实、有效，但从“过程与方法”的角度来看，错失了一次让学生自主根据问题可能的类型分门别类地思考并解决的经历。教学时也可以直接“先整体，再部分”。笔者在教学实践时，不再层层递进，而是让学生直面挑战。有一个“长江”假日小队，他们准备利用假日去植树。任务单的信息是：在一条笔直的小路一边植树，全长100米，要求每隔5米种一棵树。面对这个任务单，到底一共要准备多少棵树苗？直击“植树现场”发生的对话。（100米长的小路由5个队一起植树，每队20米）小明：我是代表“长江”队来领树苗的。工作人员：你们队打算领几棵？小明：刚才急匆匆跑过来，倒还没讨论。我问问别的队吧。小明：“之江”队，你们领几棵？“之江”队：我们队领5棵。小明正想去领，旁边“婺江”队的人得意地喊了一声：我们队就领3棵。小明停住了脚步，疑惑了，怎么他们领的不一样呢？再去问问“兰江”队。“兰江”队：我们队领4棵。小明越问越糊涂了，自己静下来想了想，发现了一个重要的规律，做出了一个重要的决定。小明：我们队领6棵。就要比他们多。……在教学中，结合鲜活、富有童真的对话，引导学生思考“到底要多少棵？为什么会有那么多不同的答案”，先独立思考，自主探索，再小组分类讨论，进而整体解决。（1）两头都种：路长÷间隔=段数，段数+1=棵数。20÷5=4（段）4+1=5（棵）。。（2）只种一头：路长÷间隔=段数，段数=棵数。20÷5=4（段）答案是4棵。。（3）两头都不种：路长÷间隔=段数，段数-1=棵数。20÷5=4（段）4-1=3（棵）。。在实际教学中，有的学生想到其中一种方法，有的学生想到其中两种方法，有的学生还误以为“两端都种”的情况应该是“4+2”（因为“两端”，所以加2）。这些都可以在小组讨论和集体讲评时予以矫正。当讨论完这三种情况后，引导学生回顾、小结，概括解决问题过程中的共同点和不同点。关键是要从数量关系上来提炼，不变的是“路长÷间隔=段数”这一数量关系，变化的是段数和棵数的对应关系。四、练习的设计从低等级变式为高等级，从技能的熟练到能力的发展。考虑到学生在面对一个复杂问题时从三种不同的情况去分析存在一定的挑战性，所以在练习的环节还是安排一个同类的问题，目的是让每一个孩子都亲历三种不同问题思考的过程。“在全长200米的小路一旁装灯，每隔10米装一盏，一共要装多少盏？”这种变式只是“情节性变换”，旨在增强学生解决问题的熟练度，对于之前只是在小组讨论或者集体讲评时才知道还有“只种一头”和“两头都不种”的同学来说，这样的过程显得很有必要。紧接着出现的是一个题组，充满浓郁的生活气息，也很有童趣。（1）建德白沙大桥全长约390米，在桥的两侧栏杆上每隔3米就有一只石狮子，桥头、桥尾呼应，形态各异。桥上一共有多少只石狮子？这种变式属于条件性扩展，“×2”（桥的两侧）常常被学生疏忽。（2）有只袋鼠每跳一下距离约10米，在一条小路上留下了它的25对脚印，这条小路长多少米？这种变式属于可逆性变换，全长本来是条件，现在成了“问题”。（3）植树节上，20个小组参加植树，每组分到5棵树苗，买树苗共用了1000元，每棵树苗多少钱？此题是用来让学生深入辨别“植树问题”的。我们设计作业时，常用“AAAA”的方式来强化A的特性，有时用“AAAB”反而更能强化A的特性。完成题组后，引导学生思考：今天学“植树问题”，做完前两题，你有什么发现？（学生的感受是“植树问题不一定是植树的”）做完第3题，你又有什么发现？哪个最不像“植树问题”？为什么？（学生的发现是“植树的问题不一定就是植树问题”）前两个问题，没有讲“植树”，但与“植树问题”有着内在的联系，“石狮子数相当于棵数”“袋鼠的脚印的对数相当于棵树”。第3题内容是“植树”的，但不属于“植树问题”。引导学生感悟判断问题的模型，不是看内容情境，而是看本质的数量关系，启发学生试图抽象地提炼“植树问题”模型。最后的挑战。教师引导：今天我们讨论“植树问题”有三种不同的情况，下面的问题属于其中的哪一种呢？“在一个周长为200米的圆形广场四周，每隔20米种一棵香樟树，一共要种多少棵？”先请学生根据直觉判断，再争辩。必要时，应用课件直观展示，化曲为直，相当于“只种一头”的情况。（如图6）在教学时，也有学生提出如果从两棵树中间分开，化曲为直，那不是“两头都不种”吗？这里需要回到条件中来回应，因为要求每隔20米，看似两头都不种，实际上都隔10米，还是属于“只种一头”的情况。不看现象，看本质，使问题的思辨再次升华。。课尾：即时应用，感受数学就在身边。教师提出问题：“今天一节数学课40分钟，老师担心时间来不及，设置了一个手机提醒功能，上课铃声响后，每隔5分钟就振动一次，提醒我要珍惜时间，一节课下来要提醒几次呢？”这个根据作息时间原创的问题看上去是一次简单的应用，但对于教学来说更能体现数学的奥妙，让学生感受到数学“好玩”。这一系列练习的设计不是止步于同类“植树问题”的反复练习，不是为了看起来的熟练，而是通过逐步“变式”，不断激发学生思考，使其根据纷繁多样的现实情况来解决问题。一个个问题背后蕴涵着一个又一个挑战，激励着学生创造性地解决，让学生的思维得到一次次提升，体现了决定课堂成效的不只是技能的熟练度，还有解决问题中表现出的思维灵活度。（作者单位：浙江杭州市时代小学）