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焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上范围顶点轴长短轴长＝，长轴长＝.焦点焦距|F1F2|＝.对称性对称轴，对称中心.离心率e＝椭圆的几何性质当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆离心率越，则椭圆越趋近于圆．趋近于1趋近于0[例1]求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴和短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标．[分析]把椭圆方程写成标准形式，求出基本元素a、b、c即可求出需要的答案．解：将方程变形为y225＋x216＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝3.故椭圆的长轴和短轴的长分别为2a＝10,2b＝8，离心率e＝ca＝35，焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，顶点坐标为A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－4,0)，B2(4,0)．点评：已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标．[例1]求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴和短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标．例2：已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求此椭圆的标准方程．解：解法一：若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意，得2a＝5×2b，25a2＋0b2＝1，解得a＝5，b＝1，故所求的标准方程为x225＋y2＝1；若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，由题意，得2a＝5×2b，0a2＋25b2＝1，解得a＝25，b＝5，故所求的标准方程为y2625＋x225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x225＋y2＝1或y2625＋x225＝1.解法二：设椭圆方程为x2m＋y2n＝1(m0，n0，m≠n)，由题意，得25m＋0n＝1，2m＝5×2n，或25m＋0n＝1，2n＝5×2m，解得m＝25，n＝1，或m＝25，n＝625.故所求椭圆的标准方程为x225＋y2＝1或y2625＋x225＝1.点评：由椭圆几何性质，求椭圆标准方程的一般步骤是：①求出a、b的值；②确定焦点所在坐标轴；③写出标准方程．求x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆的标准方程．变式训练：解：设方程为x2a2＋y2b2＝1.由已知，c＝3，b＝c＝3，所以a2＝18.故所求方程为x218＋y29＝1.例3：如图已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的，求椭圆的离心率．[解析]解法一设焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c，23b)，在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋49b2＝|MF1|2，而|MF1|＋|MF2|＝4c2＋49b2＋23b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.例3：如图已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的，求椭圆的离心率．又c2＝a2－b2，∴3b＝2a.∴b2a2＝49.∴e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝59，∴e＝53.解法二设M(c，23b)代入椭圆方程，得c2a2＋4b29b2＝1，∴c2a2＝59，∴ca＝53即e＝53.例3：如图已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的，求椭圆的离心率．点评：给出椭圆方程，求离心率或已知离心率，即可转化为a，c关系，有时也需转化为b，c或a，b关系．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1(－c,0)，已知A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为b7，则椭圆的离心率e＝________.[解析]如右图所示，设F1P⊥AB，垂足为P，|AB|＝a2＋b2，|AF1|＝a－c，|F1P|＝b7，由△AF1B面积公式，得a2＋b2·b7＝(a－c)·b.又∵b2＝a2－c2，∴整理得8c2－14ac＋5a2＝0，∴8(ca)2－14·ca＋5＝0，即8e2－14e＋5＝0，∴e＝12或e＝54(舍去)，故e＝12.[例4]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．[解析](1)设椭圆的半焦距为c，依题意ca＝63，a＝3，∴b＝1.∴所求椭圆方程为x23＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．当AB⊥x轴时，点B横坐标为32或－32，代入椭圆方程，得|AB|＝3.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，由已知|m|1＋k2＝32，得m2＝34(k2＋1)．把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.∴x1＋x2＝－6km3k2＋1，x1x2＝3(m2－1)3k2＋1.∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)36k2m2(3k2＋1)－12(m2－1)3k2＋1＝12(k2＋1)(3k2＋1－m2)(3k2＋1)2＝3(k2＋1)(9k2＋1)(3k2＋1)2＝3＋12k29k4＋6k2＋1＝3＋129k2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4，其中，k≠0，当且仅当9k2＝1k2，即k＝±33时等号成立．当k＝0时，|AB|2＝3＋12k29k4＋6k2＋1＝3＋0＝3≤4，也满足|AB|2≤4.综上所述，|AB|max＝2.∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S＝12×|AB|max×32＝32.[说明]研究直线与椭圆的位置关系，一般通过解直线方程与椭圆方程所组成的方程组对解的个数进行讨论，有两组不同实数解(Δ0)时，直线与椭圆相交；有两组相同的实数解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切；无实数解(Δ0)时，直线与椭圆相离．[例5]已知椭圆＋y2＝1和点M(－3,0)，N(0，－2)，直线l过点M与椭圆相交于A，B两点，那么∠ANB可以为钝角吗？如果你认为可以，请写出当∠ANB为钝角时，直线l的斜率k的取值范围；如果你认为不能．请加以证明．[误解]∠ANB不可能为钝角．证明如下：如图所示，由图可知，当A，B分别为椭圆与x轴的交点时，∠ANB最大，此时A(－2，0)，B(2，0)．又因为N(0，－2)，所以|AB|＝22，|AN|＝|BN|＝(2)2＋22＝6，所以cos∠ANB＝|AN|2＋|BN|2－|AB|22|AN||BN|＝(6)2＋(6)2－(22)22×6×6＝130，所以∠ANB为锐角，故∠ANB不可能为钝角．[辨析]本题错解中误认为当A，B分别为椭圆与x轴的交点时，∠ANB最大，这是错误的，必须通过严密的推导才能得出处于什么样的位置时∠ANB最大．[正解]∠ANB不可能为钝角．证明如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋3)，由y＝k(x＋3)，x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋12k2x＋18k2－2＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝－12k21＋2k2，①x1x2＝18k2－21＋2k2.②又∵NA→＝(x1，y1＋2)，NB→＝(x2，y2＋2)，若∠ANB为钝角．则NA→·NB→0，即x1x2＋(y1＋2)(y2＋2)0，即x1x2＋y1y2＋2(y1＋y2)＋40.③∵y1＝k(x1＋3)，④y2＝k(x2＋3)，⑤∴将④⑤代入③整理得(1＋k2)x1x2＋(3k2＋2k)(x1＋x2)＋9k2＋12k＋40，⑥将①②代入⑥，得(1＋k2)·18k2－21＋2k2＋(3k2＋2k)(－12k21＋2k2)＋9k2＋12k＋40.整理得33k2＋12k＋20，Δ＝144－4×33×2＝－1200，∴k不存在，故∠ANB不可能为钝角．一、选择题1．若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m＝()A.3B.32C.83D.23[答案]B[解析]∵焦点在x轴上，∴a＝2，b＝m，c2＝a2－b2＝2－m.e＝ca＝2－m2＝12，m＝32.2．椭圆C1：x225＋y29＝1和椭圆C2：x225－k＋y29－k＝1有()A．等长的长轴B．相等的焦距C．相等的离心率D．等长的短轴[答案]B[解析]依题意知椭圆C2的焦点在x轴上，对于椭圆C1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C2，焦距＝2(25－k)－(9－k)＝8，故答案为B.3．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为()A.22B.32C.53D.63[答案]A二、填空题4．一椭圆的短半轴长是22，离心率是13，焦点为F1，F2，弦AB过F1，则△ABF2的周长为____________．[答案]12[解析]∵离心率是13，∴a＝3c，又有a2－c2＝b2＝8，∴(3c)2－c2＝8∴c2＝1，∴a2＝9，易知△ABF2的周长为4a，∴周长为12.5．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．[解析]考查椭圆的定义与标准方程．设椭圆G的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，半焦距为c，则2a＝12ca＝32，∴a＝6c＝33，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.三、解答题6．设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，短轴的一个顶点B与两焦点F1、F2组成的三角形的周长为4＋23，且∠F1BF2＝23π，求椭圆方程．[解析]由题意知ca＝cos30°＝32，2(a＋c)＝2(2＋3)，⇒c＝32a，a＋c＝2＋3，⇒a＝2，c＝3，∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆方程为x24＋y2＝1.