非正弦周期函数的傅里叶级数展开式

对于周期性的激励与响应，可以利用傅里叶级数分解为一系列不同频率的简谐分量,再根据叠加定理。所以线性电路对非正弦周期性激励的稳态响应，等于组成激励信号的各简谐分量分别作用于电路时所产生的响应的叠加。而响应的每一简谐分量可用正弦稳态分析的相量法求得。1.非正弦周期电流的产生引起的电流或电压便是非正弦周期电流，解决方法是？1）当电路中有多个不同频率的电源同时作用基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。根据叠加定理，分别计算不同频率的响应，然后将瞬时值结果叠加。SUmsinUtL2RR1R1.非正弦周期电流的产生2）非正弦周期电压源或电流源（例如方波、锯齿波）引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？tSuOSutO(a)(b)方波和锯齿波电压基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。3）有非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。对非正弦周期电流电路的分析方法：谐波分析法这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后求解不同频率的正弦激励的响应，最后将瞬时值结果叠加。响应也是非正弦周期量，如何求响应？RouiiuttiuouOO(a)(b)(c)D二极管整流电路及半波整流电压1.非正弦周期电流的产生基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。§71非正弦周期函数的傅里叶级数展开式周期函数f(t)=f(t+kT)(k=1,2,3,…)若满足狄里赫利条件则f(t)可展开为傅里叶级数：(2)函数f(t)在任一周期内只有有限个极大值和极小值；(3)函数f(t)在任一周期内只有有限个不连续点；(1)函数f(t)在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻t0，积分存在；Tttdttf00)(即：)](sin)cos([)(10tkbtkaatfkkk1．傅里叶级数2π/2πTf是角频率,T是f(t)的周期。其中：TdttfTa00)(1200)(cos)(1cos)(2ttdktftdtktfTaTk200)(sin)(1sin)(2ttdktftdtktfTbTk)](sin)cos([)(10tkbtkaatfkkk(7-1)积分区间也可以取（-T/2,T/2）和（,）将式（7－1）中频率相同的项合并成一项，则可变形为：在电路分析中，傅里叶级数的另一种形式；应用相量运算可得：mcoskkkaAmsinkkkbA22mkkkAabarctgkkkba)](sin)cos([)(10tkbtkaatfkkk(7-1)))cos()(10kkkmtkAAtf(7-2)00Aa根据周期函数的某些对称性，可以简化傅里叶系数的求解，分别讨论三种情况：（1）f(t)函数为奇函数，f(t)=-f(-t);0)(100TdttfTa0cos)(20TktdtktfTa2/02/2/0sin)(4sin)(2sin)(2TTTTktdtktfTtdtktfTtdtktfTb)(tftOT2/T（2）f(t)函数为偶函数，f(t)=f(-t);)(12/00TdttfTa0sin)(20TktdtktfTb2/00cos)(4cos)(2TTktdtktfTtdtktfTa)(tftOT2/T（3）f(t)函数为奇谐波函数：f(t)=－f(t+T/2)；即：相隔半个周期的函数值大小相等，符号相反；也称为半波对称（镜对称）函数；0)(100TdttfTa2/0cos)(40TktdtktfTa2/0sin)(40TktdtktfTbk为奇数k为偶数k为奇数2/TT)(tft2/TOk为奇数k为偶数k为奇数恒定分量（直流分量）m1A1k=1—基波；—基波振幅，—基波初相k=2,3称为高次谐波,收敛的，次数越高，振幅越小))cos()(10kkkmtkAAtf2．谐波分析:将周期函数分解为恒定、基波和各次谐波的方法；竖线为幅值谱线（振幅频谱）长度表示Akm的量值；相邻两谱线的间隔等于基波ω。同样相位频谱,表示各次谐波的初相随角频率kω变动的情形。kO246km1Am2Am3Am4Am5Am6A振幅频谱§71非正弦周期函数的傅里叶级数展开式求周期性方波的傅里叶展开式。所给波形在一个周期内的表达式：例7－1解：02/)sin(2)cos(22/0TtkTkAdttkATaTk212/00AAdtTaTTtTTtAtf2/,02/0,)(当当t/2TTOA周期性方波20021()cos()d()cos()d()πTkaftkttftkttT20021()sin()d()sin()d()πTkbftkttftkttT0)2*2*sin(2)2sin(2TTkTkATkTkA02/)cos(2)sin(22/0TtkTkAdttkATbTk)](sin[)(10tkbatfkk2T因为ak=0，所以：]5sin513sin31[sin22)(tttAAtf1])12sin[12122ntnnAA,...6,4,2,0,...5,3,1,2)cos(1(kkkAkkATtTTtAtf2/,02/0,)(当当说明:式中引入新的正整数n以区别原来的正整数k。ttt2/A2/πA2/(3π)A(a)(b)(c)OOO周期性方波的波形分解直流分量基波分量3次谐波分量1])12sin[12122)(ntnnAAtf（振幅频谱和相位频谱π2kkO35793579k2A2πA23πA25πA27πA29πAO本节小结：1、频谱图直观而清晰地表示出一个信号包含有哪些谐波分量，以及各谐波分量所占的比重和其间的相角关系，便于分析周期信号通过电路后它的各谐波分量的幅值和初相发生的变化。这对于研究如何正确地传送信号有重要的意义。2、奇，偶函数的对称性可能因原点的移动而遭破坏，奇谐波函数的对称性不受原点移动的影响。3、适当选择时间起点，可使有些函数具有一种以上的对称性。4、对波形的对称性的判断可直观地判断哪些谐波存在，哪些谐波不存在。减少付立叶级数展开的工作量。1．函数f(t)在一个周期内的表达式，直接代入上式。7.2非正弦周期量的有效值平均功率例7-2：计算方波的有效值解：TdtuTU021有效值：周期量的有效值等于其瞬时值的方均根值基本要求：理解非正弦周期量的有效值和平均功率的定义。t/2TTOAf(t)TdttfTF02)(12012/02/2AdtdtATTTT2．正弦级数形式求有效值00m11()[cos()sin()]cos()kkkkkkftAaktbktAAkt设20m011[cos()]dTkkkAAAkttT有效值：7.2．非正弦周期量的有效值平均功率200201AdtATT220222)(cos1kmkTkmkAAdttkAT0)cos(100TkmkdttkAATkqdttqAtkATTqmqkmk,0)cos()cos(1020m011[cos()]dTkkkAAAkttT1m12m2/2/2AAAA式中、基波、二次谐波…的有效值有效值等于恒定分量、基波分量与各谐波分量有效值的平方和的平方根。2221212221AAAAAAokmko有效值：2．正弦级数形式求有效值7.2．非正弦周期量的有效值平均功率已知周期电流，求其有效值。A)]502cos(42.0)20cos(707.01[tti解：AIIo16.1)42.0(21)707.0(21222例7－3：2/00)(2)(1TTavdttfTtdtfTF■平均值平均值：电工技术中经常遇到上下半周期对称的波，如正、余弦波，奇谐波等，在横轴上下的面积相等，其平均值为零，在电工实践中，还用到均绝值的概念，其数学式为：取绝对值是将负值部分反号，即“全波整流”，就是“全波整流”后的平均值。mmTmTmavUUtTUtdtnisUTU64.02cos)1(220220mmUUU0.707211.12222mmvaUUUU例7-4:求正弦电压的平均值，并有效值与平均值之比;·有效值为:或VaU=0.9U·有效值与平均值之比:解：已知：u(t)=Umsinωt·平均值为:设一端口网络的端口电压、电流取关联参考方向，则其输入的瞬时功率为p=ui平均功率就是瞬时功率在一周期内的平均值，即0m1cos()kukkuUUkt设0m1cos()kikkiIIkt3.非正弦周期电流电路的平均功率TTuidtTpdtTP0011TkkkmkkmkTdttkIItkUUTuidtTP011000}])cos([)]cos({[117.2．非正弦周期量的有效值平均功率结论：非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量、基波分量和各次谐波分量产生的平均功率之和。同时说明：不同频率的电压和电流不产生平均功率。0001dTUItT0m011cos()dTkikkUIkttT0m011cos()dTkukkIUkttTmm0111cos()cos()dTkkukikkkUIktkttTmm011cos()cos()dTkkukikkUIktkttTmm001cos22kkkkUIUI0m0m0111[cos()][cos()]dTkukkikkkPUUktIIkttT10100coskkkkkkPPIUIUUk、Ik为第k次谐波的有效值，为第k次谐波电压与电流间的相位差；kikukk－＝线性电路在非正弦周期激励时的稳态分析步骤：1)把给定的非正弦周期性激励分解为恒定分量和各谐波分量。2)分别计算电路由上述恒定分量和各谐波分量单独作用下的响应。求恒定分量响应要用计算直流电路的方法；求各次谐波分量的响应，则要应用计算正弦电流电路的方法（相量法）。其中，电感、电容对k次谐波的电抗分别为XL1为基波感抗XC1为基波容抗3)根据叠加定理，把恒定分量和各谐波分量的响应相量转化为瞬时表达式后进行叠加。基本要求：熟练掌握用叠加定理分析非正弦周期电流电路的方法。7.3非正弦周期电流电路的稳态分析1LLkkXLkX11CckkXCkX图示电路中.(1)求电流源的端电压u及其有效值；(2)求电流源发出的平均功率。rad/s10,A)cos222(,Vcos220,V1021tituUSSS直流分量作用，电路模型如图交流分量作用相量模型如图(c)所示。节点法求电流源端电压相量电流源的端电压及其有效值分别为电流源发出的平均功率例7－5：2V10A20U图b2S1US2uSiuF102H4.0图a2V020A021U10jj4图c解：VUjjjU902021020]101421[11解得：U0=10+2×2=14vVUUUVtuUu4.242014)90cos(22014[22212010WUUP2890cos220214()090cos(2210=+已知ω=314rad/s,R1=R2=10,L1=0.106H，L2=0.0133H，C1=95.6μF，C2=159