《函数与导数》解题方法总结-教案

《函数与导数》解题方法总结教案解题策略1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响2．运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短3．对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对含参数的二次函数问题，应分a＝0和a≠0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a＞1和0＜a＜1分两种情况讨论4．解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.5．在理解极值概念时要注意以下几点：①极值点是区间内部的点，不会是端点；②若()fx在（a，b）内有极值，那么()fx在（a，b）绝不是单调函数；③极大值与极小值没有必然的大小关系；④一般的情况，当函数()fx在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数()fx在［a，b］内的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号6．求函数的最值可分为以下几步：①求出可疑点，即/()fx＝0的解x0；②用极值的方法确定极值；③将（a，b）内的极值与()fa，()fb比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当()fx在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处()fx有极大（小）值，则可以确定()fx在该点处了取到最大（小）值7．利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：①'()fx＞0是()fx递增的充分条件而非必要条件（'()fx＜0亦是如此）；②求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据'()fx＞0（或'()fx＜0）解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明8．函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化；(3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.典型例题考点一.函数的解析式、定义域、值域求法例1、函数2ln(1)34xyxx的定义域为A．(4,1)B．(4,1)C．(1,1)D．(1,1]解：由21011141340xxxxxx.故选C例2、用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设()fx=min{2x,x+2,10-x}(x0),则()fx的最大值为（A）4（B）5（C）6（D）7【解析】：利用数形结合，画出函数的大致图象，如图所示，很容易的得到函数的最大值是当4x时，fx的最大值为6考点二.函数的零点例1、函数2x+2x-3,x0x)=-2+lnx,x0f（的零点个数为()A.0B.1C.2D.3解:当0x时，令2230xx解得3x；当0x时，令2ln0x解得100x，所以选C。【方法总结】：求函数)(xfy的零点：①（代数法）求方程0)(xf的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．例2、设a为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(xaxx的实根的个数。解：原方程等价于xaxxxaxx)3)(1(00301即31352xxxa构造函数)31(352xxxy和ay，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当31a或413a时，原方程有一解；②当4133a时，原方程有两解；③当1a或413a时，原方程无解。【方法总结】：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。例3、已知a是实数，函数2()223fxaxxa，如果函数()yfx在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。解：当a=0时，函数为()fx=2x-3，其零点x=23不在区间[-1，1]上。当a≠0时，函数()fx在区间[-1，1]分为两种情况：①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时48(3)0(1)(1)(5)(1)0aaffaa或12110)3(84aaa解得1≤a≤5或a=273②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时208244011121010aaaaff或208244011121010aaaaff解得a5或a273综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为(-∞,372]∪[1,+∞)【方法总结】：函数零点（即方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f(x)0恒成立00a；f(x)0恒成立00a.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.考点三.函数的单调性、奇偶性和周期性例1、已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间8,8上有四个不同的根1234,,,xxxx,则1234_________.xxxx解：因为定义在R上的奇函数，满足(4)()fxfx,所以(4)()fxfx,所以,由)(xf为奇函数,所以函数图象关于直线2x对称且(0)0f,由(4)()fxfx知(8)()fxfx,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(xf在区间[0,2]上是增函数,所以)(xf在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程)(xf=m(m0)在区间8,8上有四个不同的根1234,,,xxxx,不妨设1234xxxx由对称性知1212xx344xx所以12341248xxxx答案:-8【方法总结】：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题例2、已知函数224,0()4,0xxxfxxxx若2(2)(),fafa则实数a的取值范围是A(,1)(2,)B(1,2)C(2,1)D(,2)(1,)解：由已知，函数在整个定义遇上单调递增的故)()2(2afaf，等价于022aa，解得12a答案C【方法总结】：在处理函数单调性时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，显得更加简单、方便考点四.函数的图象例1、右图是函数)()(xfyxfy的导函数的图象，给出下列命题：①—3是函数)(xfy的极值点；②—1是函数)(xfy的最小值点；③)(xfy在0x处切线的斜率小于零；④)(xfy在区间（—3，1）上单调递增。则正确命题的序号是（）A．①②B．①④C．②③D．③④例2、函数的图像为14313xxy()例3、方程内根的个数为在)2,0(076223xx()A、0B、1C、2D、3函数的图象答案：1、C2、A3、B考点五.利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围例1、已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）C2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b由f（23－）＝124ab093－＋＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝12－，b＝－2f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：yxo424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-2o4224x（－，－23）－23（－23，1）1（1，＋）f（x）＋0－0＋f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（－，－23）与（1，＋），递减区间是（－23，1）（2）f（x）＝x3－12x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－23时，f（x）＝2227＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2考点六抽象函数例1、定义在R上的单调函数()fx满足(3)f=log23且对任意x，y∈R都有()fxy=()fx+()fy．(1)求证()fx为奇函数；(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)：()fxy=()fx+()fy(x，y∈R)，①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(2)：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，k·3x＜-3x+9x+2，32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R成立．令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．R恒成立．【方法总结】：利用抽象条件，通过合理赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等方法去探究函数的性质。如奇偶性、周期性、单调性、对称性等，再运用相关性质去解决有关问题，是求解抽象函数问题的常规思路。其中合理赋值起关键性的作用。对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加数量的趋势。考点七：利用导数研究导数的单调性例1、已知函数1()ln1()afxxaxaRx（1）当1a时，求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；（2）当12a时，讨论()fx的单调性.解（1）当1()afx时，),,0(,12lnxxxx所以222xxfxx因此21f,即曲线()2(2))1.yfxf在点（，处的切线斜率为，又,22ln)2(f所以曲线()2(2))(ln22)2,yfxfyx在点（，处的切线方程为ln20.xy即（2）因为11ln)(xaaxxxf,所以211)('xaaxxf221xaxax),0(x,令,1)(2axaxxg),,0(x当0a时，()1,0,,gxxx所以当0,1x时，gx0，此时0fx，函数fx单调递减；当1,x时，gx0，此时0fx，函数fx单调递增.当0a时，由0fx，即210axxa，解得1211,1xxa.①当12a时，12xx，0gx恒成立，此时0fx，函数fx在（0，+∞）上单调递减;②当102a时，1110a，0,1x时，0gx,此时0fx,函数fx单调递减11,1xa时，gx0,此时0fx,函数fx单调递增11,xa