离散型随机变量的数学期望

A,B两人赌技相同，各押赌注32个金币，规定先胜三局者为胜,赌博进行了一段时间，A赌徒已胜2局，B赌徒胜1局，发生意外，赌博中断。A赌徒B赌徒实力相当两人该如何分这64金币？1、有12个西瓜，其中有4个重5kg，3个重6kg，5个重7kg，求西瓜的平均质量。).(127312573645kg解：西瓜的平均质量为12个西瓜的总质量除以西瓜的总个数，即：二、互动探索上式也可以写成：).(1273125712361245kg由上式可知，平均质量等于各个质量乘相应的比例再求和。问题1：混合后，每1kg糖的平均价格为多少？问题2：若在混合糖果中任取一粒糖果，用随机变量X表示这颗糖果的单价（元/kg），写出X的分布列。2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？612636362418PX)36(36)24(24)18(18XPXPXP合理价格：)/(23613662246318kg元平均价格为问题3:作为顾客，买了1kg糖果要付23元，而顾客买的这1kg糖果的真实价格一定是23元吗？一、离散型随机变量取值的均值一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipxpxpxpxEX2211则称为随机变量X的均值或数学期望。P1xix2x······1p2pip······nxnpX它反映了离散型随机变量取值的平均水平。X1234Pa4141411、随机变量X的概率分布为：求X的数学期望。2、A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现的次品的概率如下表所示：次品数X0123P0.70.20.060.04A机床：次品数Y0123P0.80.060.040.1B机床：问：哪一台机床加工质量较好？3、A,B两人赌技相同，各押赌注32个金币，规定先胜三局者为胜,赌博进行了一段时间，A赌徒已胜2局，B赌徒胜1局，发生意外，赌博中断。两人该如何分配这64个金币？问题3：离散型随机变量X的期望与X可能取值的算术平均数相同吗？期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值。随机变量X取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数。问题4：离散型随机变量X的期望与X可能取值的算术平均数何时相等？X123456p61616161616127616615614613612611EX　276654321为可能取值的算术平均数X例1：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的期望。变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的期望？所以随机变量Y的均值为:=2EX+1P13119753Y161616161616861136111619617615613EY　设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．（1）Y的分布列是什么？（2）E(Y)=？思考：P1xix2x······1p2pip······nxnpXnniipxpxpxpxXE2211)(P1x2x···1p2p···nxnpXP1x2x···1p2p···nxnpXbax1bax2···baxnnnpbaxpbaxpbaxYE)()()()(2211)()(212211nnnpppbpxpxpxabXaE)(Y＝aX＋b一、离散型随机变量取值的均值nniipxpxpxpxEX2211P1xix2x······1p2pip······nxnpX二、随机变量数学期望的性质（线性性质）baEXbaXE)(即时训练：1、随机变量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)则E(X)=.2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若Y=2X+1，则E(Y)=.5.8ξ47910P0.3ab0.2E（ξ）=7.5,则a=b=.0.40.1例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1－p则pppEX)1(01三、例题讲解两点分布的期望三、例题讲解变式1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他连续罚球3次的得分X的均值是多少？X0123P33.0分析：X～B（3，0.7）2133.07.0C3.07.0223C37.0322321337.033.07.023.07.013.00CCEX1.27.03例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？三、例题讲解变式2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为p，则他连续罚球n次的得分X的均值是多少？x01…k…np……111nnCpqkknknCpq0nnnCpqX的分布列如下：00nnCpq分析：X～B（n，p）则.npEX证明：n),0,1,2,(kqpCk)P(Xknkkn所以若X～B(n，p)，则EX＝np．证明：若X～B(n，p)，则EX＝np3-332-221-11003210nnnnnnnnqpCqpCqpCqpCEX0qpCnqpCknnnknkkn322121111001(nnnnnnqpCqpCqpCnp)0111)1()1(111qpCqpCnnnknkknnpqpnpn1)(2；一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则E(X)=np结论：1；一般地，如果随机变量X服从两点分布（1，p)，则E(X)＝p3，一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是.3即时训练：4，随机变量X~B（8，p），已知X的均值E(X)=2，则P（x=3)=.例2.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中摸出3个球.（1）求得到黄球个数ξ的分布列；（2）求ξ的期望。小结：一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则NnMXE超几何分布的数学期望例3.假如你是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为X万元，则X的分布列为0.40.6－410PXEX=10×0.6＋(－4)×0.4=4.4万元＞2万元,故应选择在商场外搞促销活动。例4：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项.其中仅有一个选项正确，每题选对得5分.不选或选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.思路分析：设甲、乙选对题数分别为X1、X2，则甲、乙两人的成绩分别为Y1=5X1、Y2=5X2，问题转化为求:E(Y1)=E(5X1)=E(Y2)=E(5X2)=思考：X1、X2服从什么分布？5E(X1)5E(X2)解：设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则X1～B(20，0.9)，X2～B(20，0.25)，EX1＝20×0.9＝18，EX2＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2。所以，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5X1)＝5EX1＝5×18＝90，E(5X2)＝5EX2＝5×5＝25．为他们射击的分布律分别乙两个射手、甲,试问哪个射手技术较好?谁的技术比较好?乙射手击中环数概率10982.05.03.0甲射手击中环数概率10983.01.06.0解),(3.96.0101.093.08)(1环XE),(1.93.0105.092.08)(2环XE.,21XX数分别为设甲、乙射手击中的环故甲射手的技术比较好.反思：1、用定义求随机变量均值的一般步骤：1）找出随机变量的可能取值；反思：2、求随机变量均值的一般方法：1）利用定义求均值；2）求出分布列3）利用定义（公式）求均值。2）利用线性性质求均值。3）两点分布，二项分布直接用公式求均值。（广东卷17）（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为X．（1）求X的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？高考链接：•【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2；，，,故的分布列为：63.0200126)6(XP25.020050)2(XP1.020020)1(XP02.02004)2(XP0.020.10.250.63P-2126X34.402.0)2(1.0125.0263.06EX（2）)29.00(76.401.0)2(1)01.07.01(27.06)(xxxxxE73.4)(xE73.476.4x03.0x（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为依题意，，即，解得所以三等品率最多为3%应用概念步骤期望的概念期望为我们提供了实际问题决策的理论依据。求期望的三个步骤方法求期望的三种方法随机变量的均值与样本平均值有何区别和联系？•区别：随机变量的均值是一个常数，而样本平均值随着样本的不同而变化的，是一个随机变量。•联系：随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值（随机变量的均值）。(2010·衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．(1)若这箱产品被用户接收的概率是，求n的值；(2)在(1)的条件下，记抽检的产品次品件数为X，求X的分布列和数学期望．作业：【解】(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A，∴n＝2.(2)X的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=∴X的概率分布列为：X123P1828109()123.5454545EX1．(2010·河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试．公司规定面试合格者可签约．甲、乙面试合格就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有三人面试合格的概率；(2)恰有两人签约的概率；(3)签约人数的数学期望．解：(1)设“至少有3人面试合格”为事件A，则P(A)＝(2)设“恰有2人签约”为事件B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件B2；则：B＝B1＋B2P(B)＝P(B1)＋P(B2)(3)设X为签约人数．X的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=X01234P52024161620()01234.81848181819EX