3-7导数在经济学中的应用

第七节导数在经济学中的应用二、函数弹性一、边际函数三、小结高等数学可导，设)(xfy.称为边际函数边际函数,)(在经济学中则导数xf成本函数C(Q)、收入函数R(Q)、利润函数L(Q)的导数，比如分别称为边际成本、边际收入、边际利润函数)(QC)(QR)(QL边际函数的含义？一、边际函数高等数学,上式表明处，在点0xx时，产生一个单位的改变量当x相应近似地改变函数y.)(0个单位xf在经济问题中，具体意义时，解释这个边际函数值的.字我们略去“近似”两个dyyxxfy)(0)(0xfy处，在0xx1x取)]()1([00xfxfy,10很小时相对于当xx边际成本在产量为Q个单位的基础上，再生产一个单位产品时总成本的增加值.可导，设)(xfy高等数学边际收入在产量为Q个单位的基础上，再销售一个单位产品时,总收益的增加值.边际利润在产量为Q个单位的基础上，再生产一个单位产品时,总利润的增加值.:例如为已知某商品的成本函数成本的边际函数为,4100)(2QQCC).(成本单位为元)(QC2Q时，当10Q5)10(C这表明，单位水平时，该商品的产量在10品，再多生产一个单位的产.5元的成本需要增加高等数学某企业每天的产量均能售出，售价为490元/吨，其每日成本C与每日产量Q之间的函数为202.04502000)(QQQC（1）写出收入函数；（2）写出利润函数；（3）求利润函数的导数，并说明其经济意义.例1解(1)QQR490)((2))()()(QCQRQL202.04502000490QQQ20004002.02QQ(3))(QL4004.0Q其经济意义为：当产量达到Q时，再增加单位产量后利润的改变量.高等数学例如，元，商品甲每单位价格10元；涨价1元，商品乙每单位价格1000.1元也涨价，元变量都是两种商品价格的绝对改1但是各与其原价相比，却有很大的不同，两种商品涨价的百分比%10甲商品涨了%1.0而乙商品涨了,因此.和相对变化率有必要研究相对改变量.还是不够的变化率绝对改变量与绝对在经济活动中仅仅研究绝对改变量1、函数弹性二、函数的相对变化率—函数的弹性高等数学，设)(xfy我们把xx一个改变量给自变量yy的相对改变量到从函数xxxxf)(xx.的相对改变量到自变量从xxxy的绝对改变量到从函数xxxxf)(x.绝对改变量的到自变量从xxxxy.)(的平均变化率到从函数xxxxf.)(的瞬时变化率处在点函数xxfxyx0lim)(xf高等数学比自变量的相对改变量之把函数的相对改变量与xyyx).()(弹性的平均相对变化率到从称为函数xxxxfyyxxxyyxx0lim称极限yxyxx0lim)()(xfxfx,)(或相对导数点处的瞬时相对变化率在为函数xxf.)(点处弹性在或函数xxf，记为ExEy高等数学即ExEy,)()(xfxfxxyyx由于所以yy)()(xfxfxxx)()(xfxfxExEyxyyxx0lim.变化幅度的大小的变化反映的是随xfx高等数学这表明：,%1时的相对改变量为当x的相对改函数y变量近似地为%.ExEy在具体应用问题中，，解释弹性的具体意义时我们也.略去“近似”两个字,%1时的相对改变量为当即x变量为的相对改函数y%.ExEy%)()(xfxfx%,1xx如果取则%ExEyyy)()(xfxfxxx高等数学2、需求弹性（需求的价格弹性）),(PfQ设需求函数,表示产品的价格这里PQPPfQPPQPPQQPP)(limlim00P:时的需求弹性为价格为P很小时，当PQPPf)(.PQQPEPEQ高等数学,函数由于需求函数是单调减注意：需求量随价格的提高故需求函数一般是时，当而减少),00(QP.,格变动反应的灵敏度它反映产品需求量对价负值问题需求弹性的大小是如何影响收益增减的呢？且能影响多少呢？经济意义：)(P表示在价格为P的基础上,价格上涨(或下跌)1%时,需求量减少(或增加)的百分数.高等数学分析QPRPPf)()(PRPPfPf)()(QPPfP)()(PPQPPf)()()()()(PfPPf))(1)((PPf总收益的弹性为EPERRPR总收益的变化率为RPPPf))(1)((PPfPPPf)())(1)(().(1P销售量商品价格QP,PQPPf)(高等数学EPER).(1P结论1,1)(时当P,,可以通过少许的涨价需求缺乏弹性时.以获得收益增加(1)%.1%1）（时，收益增加（减少）且价格上涨（或降低）P)(PR))(1)((PPf);()(减少则总收益增加下降即价格上涨;,0单调递增RR高等数学,1)(时当P(2)结论2,,可以通过少许的降价需求富有弹性时.以获得收益增加%.1%1）（时，收益减少（增加）且价格上涨（或降低）P);()(增加则总收益减少下降即价格上涨)(PR))(1)((PPfEPER).(1P;,0单调递减RR高等数学;1)(,0)(PPR此时,当总收益最大时(3)结论3,总收益最大时.,益增加涨价及降价都不能使收此时)(PR))(1)((PPf高等数学设某商品需求函数为,212)(PPfQ;)()1(P求需求弹性函数;6)2(时的需求弹性求P%,16)3(若价格上涨时，在P？总收益是增加还是减少多少？收益最大？最大收益是为何值时，P)4()1()(PQPQ212)212(PPP;24PP例2解？且收益增加或减少多少高等数学,1)6()3(.总收益增加)6()2(624PPP624631,价格上涨时%,16价格上涨时，即在P%32总收益增加%67.0)4(解出.12P最大收益为)12(R)21212(12.72,1)(时总收益最大PPPP24)(而124)(PPP令高等数学1.边际函数2.弹性函数及需求弹性三、小结高等数学洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式型00,1,0型型0型00型Cauchy中值定理Taylor中值定理xxF)()()(bfaf0ngfgf1fgfggf1111取对数令gfy单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘.导数的应用主要内容