复变函数学习指导

复变函数第二章学习指导一、知识结构1.复变函数在一点可导的定义2.解析函数2.42.53.15函数在一点解析的定义定义函数在区域解析的定义四则运算运算复合运算定理充分必要条件定理及定理3.初等函数,,sin,cos,,,zzzezzLnzzazann单值函数:z多值函数：z与有例外二、学习要求⒈理解解析函数的定义，性质及其充分必要条件；⒉了解函数在一点解析与函数在一点可导的区别；⒊熟练掌握利用柯西——黎曼条件判别解析函数的方法；⒋熟练掌握“已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数”的方法。5.理解zzsin,e与zcos的定义及其主要性质；6.知道支点概念，了解,,,zLnzzanz的定义及其主要性质.三、内容提要1.函数在一点可导的定义是设函数)(zfw定义在区域D内，DzzDz)(,00，若zzfzzfz)()(lim0存在，则称此极限为函数)(zf在点0z的导数，记为)(0zf，即zzfzzfzfz)()(lim)(0000（2.1）此时，称函数)(zf在点0z可导，否则，称函数)(zf在点0z不可导。2.函数在一点解析的定义是设函数)(zfw定义在区域D内，0z为D内某一点，若存在一个邻域),(0pzN，使得函数)(zf在该邻域内处处可导，则称函数)(zf在点0z解析。此时称点0z为函数)(zf的解析点。若函数)(zf在点0z不解析，则称0z为函数)(zf的奇点。关于解析函数的定义，有下面的注解：注解1解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解2函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。3.若函数),(i),()(yxvyxuzf定义在区域D内，则函数)(zf在区域D内为解析函数的充分必要条件是：⑴),(yxu与),(yxv在D内可微。⑵xyyxvuvu,在D内成立。条件⑵称为柯西——黎曼条件或C.—R.条件。函数)(zf在区域D内为解析函数的充分必要条件是：⑴yxyxvvuu,,,在D内连续．⑵xyyxvuvu,在D内成立．关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R方程的一组解；注解2解析函数的导数形式更简洁.4.初等解析函数整幂函数定义设yxzi，n为正整数，称nzw为整幂函数．指数函数定义2.4设yxzi，称)sini(coseeyyxz（2.9）为指数函数，其等式右端中的e为自然对数的底，即2.71828e．⑴对任意二复数111iyxz与222iyxz,有2121eeezzzz⑵ze在复平面上为解析函数，且有zze)(e⑶对任意一复数yxzi，有π2)(Arg,eekyzxz（k：整数）⑷ze只以iπ2k(k为整数)为周期．⑸21eezz的充分必要条件是iπ212kzz（k为整数）⑹zzelim不存在．⑺设yxzi，若0y，则xzee；若0x，则yyysinicosei这便是欧拉公式．⑻若yxzi，则zzee．三角函数定义2.6设z为复数，称i2eeiizz与2eeiizz分别为z的正弦函数和余弦函数，分别记作i2eesiniizzz与2eecosiizzz正、余弦函数的性质：⑴zsin与zcos在复平面解析，且有zzzzsin)(cos,cos)(sin⑵三角学中实变量的三角函数间的已知公式对复变量的三角函数仍然有效：例如，由定义可推得1cossin22zzzzcos)2sin(zzsin)2cos(212121sincoscossin)sin(zzzzzz212121sinsincoscos)cos(zzzzzzzsin)sin(zzcos)cos(⑶zzziesinicos⑷zsin仅在πkz处为零，zcos仅在π2πkz处为零，其中的k为整数．⑸zsin与zcos均以π2k（k为整数)为周期；⑹命题“若z为复数，则1cos,1sinzz”不真．⑺zzsinlim与zzcoslim均不存在．同理可以定义其他三角函数：,sin1csc,cos1sec,sincoscot,cossintanzzzzzzzzzz5.初等多值函数.根式函数定义2.9设)0(eirz，称满足zwn（n为不小于2的正整数）的w为z的n次根式函数，或简称根式函数，记作nzw⑴根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的)0(eirz，都有n个不同的w与之对应，即有nnrwi0ennrwπ2i1e（2.13）nnnnrwπ)1(2i1e因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．⑵根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n个单值函数．定义设函数)(zFw为多值函数，若当变点z从起始点0z出发绕一条包围点a的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z时，函数)(zF从一个支变到另一个支，则称点a为函数)(zF的支点．⑶根式函数nzw的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数．对数函数定义2.10设,0z，称满足zwe的w为z的对数函数，记作zwLn注解1、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为i2的周期函数，所以对数函数必然是多值函数；注解2、0iArg|z|lnLnzzz,w。多值函数的单值化：1）由于iArgzzz||lnLn，而是Argz通常正数的自然对数，Argz是多值函数，所以对数函数的多值性是由于辐角函数的多值性引起的，每两个函数值相差i2的整数倍；2）像rgAz一样，取主值argz，则得到Lnz的一个单值分支，记为lnz，也称为Lnz的主值，即lnlnargzzz令vuwzrzi,,0,ei由定义2.10可得zwLn)π2(lnkirzizArgln（k：整数）即对于每一个,0z，有无穷多个不同的w，即有)π4(iln2kzw)π2(iln1kzwiln0zw（2.19）)π2(iln1kzw)π4(iln2kzw与之对应，因此，对数函数为多值函数，从而，它不是解析函数．一般幂幂函数定定义义：：利利用用对对数数函函数数，，可可以以定定义义幂幂函函数数：：设设a是是任任何何复复数数，，则则定定义义z的的a次次幂幂函函数数为为zaaezLn当当a为为正正实实数数，，且且0z时时，，还还规规定定0az。一一般般幂幂函函数数的的基基本本性性质质：：（（11））由由于于对对数数函函数数的的多多值值性性，，幂幂函函数数一一般般是是一一个个多多值值函函数数；；（（22））当当a是正整数时，幂函数是一个单值函数；（（33））当当na1（当当n是正整数）时，幂函数是一个n值函数；（（44））当当qpa是有理数时，幂函数是一个q值函数；（（55））当当a是无理数时，幂函数是一个无穷值多值函数反正切函数：由函数wztan所定义的函数w称为z的反正切函数，记作zwArctan，由于iwiwiwiweeeeiz1，令iwe2，得到111iz，从而iziz，所以])(Ln)([Ln21Ln21Arctaniiziziizizizw反正切函数是多值解析函数，它的支点是iz，无穷远点不是它的支点.四、典型例题例1试证：函数)Re()(zzf在复平面上处处不可导。分析：导数是一个特定类型的极限，要证明复变函数在某点的极限不存在，只需要找两条特殊的路径，使自变量沿这两条路径趋于该点时，函数值趋于不同的值。证对任意点z，因zzzzzzfzzf)Re()Re()()(令yxzi，于是有yxxzzfzzfi)()(由于上式当zz沿平行于虚轴的方向趋于点z时（即0,0yx），其极限为0；当zz沿平行于实轴的方向趋于点z时（即0,0xy），其极限为1，所以zzfzzfz)()(lim0不存在，故)(zf在点z处不可导。由点z的任意性，函数)Re()(zzf于复平面上处处不可导。例2试证函数1)(zzf在复平面解析．证令yxzvuzfi,i)(，则1i1)(yxzzfyxi1viu于是1xuyv从而有0,1yxuu1,0yxvv显然，yxyxvvuu,,,在复平面上处处连续，且满足C.—R.条件，故函数)(zf在复平面解析。函数)(zf在区域D内为解析函数的充分必要条件是)](Im[zf为)](Re[zf的共轭调和函数。例3设222),(yxyxyxu，试求以),(yxu为实部的解析函数),(i),()(yxvyxuzf，使得i)0(f．解依C.—R.条件有yxuvxy22于是yyxvd)22()(22xyxy由此得)(2xyvxyuyx22从而有cxx2)(因此cxyxyyxv222),(（c为任意常数）故得)2(i2)(2222cxyxyyxyxzfczi)i1(2将i)0(f代入上式，得icfi)0(由此得1c，故得i)i1()(2zzf经验证，所得)(zf既为所求。例4试证zze1e．证：设yxzi，由定义得及（实）三角函数的性质得)]sin(i)[cos(eeyyxzxyyesinicos)sini(cose)sini)(cossini(cosyyyyyyx)sini(cosesincos22yyyyxze1例5计算)i1(Ln．解：)i1(Argii1ln)i1(Ln)π24π(i2ln21k（k：整数）例6试证zzzi2iesini21e证：由定义zzzzzi2iiiei21ei2eesin可得zzzi2iesini21e例7计算)i1cos(的值．解由定义得2ee2ee)i1cos(1i1i)i1(i)i1(i1sin)ee(21i1cos)ee(2111例8对于在复平面上的某解析函数()(,)i(,)fzuxyxyv，其中izxy．已知其实部和虚部(,),(,)uxyxyv满足关系kuv，k取非负整数，求此解析函数.解由函数解析，故C-R条件成立．下面推导中需注意到复变函数的实、虚部应为实数.讨论：（1）0k则1v，故由C-R条件0,0uuxyyxvv即得到uc（其中，c为任意实数）故()ifzc为一条过(0,1)并平行于u轴的直线.(2)0k，题给k取整数，故1k.由C-R条件11122(1)12121,[1()]01()000kkkkxyxkkxkxyxuuuukukuxyyyxxukuukuukuukuuukuuvv120,0xyuccvvv（其中12,cc为任意实常数）故解析函数为12()ifzcc（即为任意复常数）例9已知电力线是与实轴相切于原点的圆族，求电场强度.解本题没有直接给出电力线方程，但依题意可将其写为222()xycc现在需要将其化为(,)uxy＝常数的形式，从而代表电力线，并检验(,)uxy是否为调和函数.由上式可构建函数为122(,)cyuxyxy不难验证它为调和函数.利用222()xycc，得到11122sin(,)2cyccuxyxyc根据C-R条件，故112cossin,ccuu