考研数学三讲义微分方程

1例7.1.1求过点(1，2)，且切线斜率为2x的曲线方程.§7.1微分方程的基本概念2)1(2yxy要求出满足上组关系式的函数y=y(x)，只需求一次不定积分，显然，所要求函数的一般形式为：解:设所求的曲线方程y=y(x)，则据题意应满足(C为任意常数)，2yxC先看一个具体例题.第十一讲常微分方程2可将求解的问题和条件归结为以下方程：.2|,21xyxdxdy几何上表示一簇曲线，将y｜x=1=2代入上式，可求出C=1,则即为过点(1，2)，且切线斜率为2x的曲线方程.21yx3含有未知函数导数或微分的方程叫做微分方程.如xeyyxdxdy,2等都是微分方程.微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶数，叫微分方程的阶.xdxdy2为一阶微分方程，xeyy为二阶微分方程.如:47.2几种常见的一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为我们主要讨论形式如下的微分方程：0),,(yyxF),(yxfy1.可分离变量的微分方程2.齐次微分方程3.一阶线性微分方程51.可分离变量的微分方程这时方程两边分别只含x和y，方程中的变量已被分离.对(7.2.1)两边积分，得Cdxxfygdy)()(这就是所求的微分方程的通解，其中c是任意常数.)()(ygxfdxdy我们把形如的方程称为可分离变量的方程.dxxfygdy)()((7.2.1)当g(y)≠0时方程改写为62.齐次微分方程的微分方程称为齐次方程.2)(yxxydxdy)(xydxdy(7.2.2)形如如7在(7.2.2)中，令uxy,则uxy，有dxduxudxdy于是(7.2.2)式化为)(udxduxu再分离变量，得xdxuudu)(两边积分得1||ln)(Cxuudu求出积分后，再用代替u，便得所给齐次方程的通解.xy83.一阶线性微分方程形如)()(xQyxPdxdy的方程称为一阶线性微分方程，这类方程的特点是关于未知函数y及其导数y′都是一次的.当Q(x)=0时，称为一阶线性齐次方程；当Q(x)≠0时，称为一阶线性非齐次方程.22xyxy如9先求一阶线性齐次微分方程的通解.0)(yxPy分离变量，即得dxxPydy)(两边积分得CdxxPyln)(||ln即dxxPCey)((C为任意常数)为一阶线性齐次微分方程的通解.对10现在我们用一阶线性齐次微分方程的通解，利用“常数变易法”求其相应的一阶线性非齐次微分方程的通解.将方程对应的齐次方程的通解)()(xQyxPydxxPCey)(中任意常数C换为待定函数u=u(x)，即设是方程dxxPexuy)()()()(xQyxPy的解，因为:()()()()()PxdxPxdxyuxeuxe()()()()()PxdxPxdxuxeuxPxe11将此代入方程)()(xQyxPy得:()()()()()PxdxPxdxuxeuxPxe()()()()PxdxPxuxeQx即dxxPexQu)()(积分后得CdxexQxudxxP)()()(其中C12不难验证，这就是方程)()(xQyxPy的通解.(7.2.4)式应作为公式熟记.))(()()(CdxexQeydxxPdxxP(7.2.4)13例7.2.1求微分方程yxdxdy的通解.解：将已知微分方程分离变量，得xdxydy两边积分，1Cxdxydy由此得12222Cxy所以有通解Cxy22这里1CC14例7.2.2求初值问题0|,02xyxyey的特解.解：将已给方程分离变量dxedyexy2两边积分Cdxedyexy2通解为Ceexy221将x=0,y=0代入得21C所求特解为2)1(2xyee15例7.2.3解方程dxdyxydxdyxy22解:原方程可写成,1)(222xyxyxxyydxdy因此是齐次方程，令uxy,则dxduxudxdyuxy,16于是原方程变成12uudxduxu即1uudxdux分离变量，有xdxduu)11(两端积分，得CuuxxCuu||ln|,|ln||ln以xy代替上式中的u，便得原方程的通解为Cxdxy||ln17例7.2.4求方程yxyxdxdy的通解.解:方程右边分子分母同除xxyxydxdy11令uxy，得xdxduuu21118两边积分得Cxuu||ln)1ln(21arctan2通解为.lnarctan22Cyxxy19例7.2.5解方程222xxexyy解法1：分离变量，得xdxydy2两边积分，得Cxylnln2即齐次方程的通解为2xCey用常数变易法，设2)(xexCy，代入原方程，得222)(xxxeexCxxC2)(CxxC2)(02xyy先解对应的齐次方程20解法2：直接用一阶线性微分方程通解公式(7.2.4)：))(()()(CdxexQeydxxPdxxP这里22)(,2)(xxexQxxP，代入公式得222e(2)xdxxdxxyxeedxC故原方程通解为2)(2xeCxy222(2)()xxexdxCxCe21例7.2.6求0)ln(lndyyxydxy的通解.解：把y视为自变量，x视为因变量，方程化为yyyxdydx1ln这里,ln1)(yyyPyyQ1)(使用公式(7.2.4)得所给方程的通解:2211(ln)lnydyCyy11lnln1()dydyyyyyxeedyCylnln1(ln)yeydyCy2111[(ln)]lnln2ln2CyCyyy23例7.2.7求方程222yxyxy的通解.解：方程本身不是线性方程，若两边同除以y2，原方程变为:2212xyxyy，得令uy122xuxdxdu该方程是一个线性方程，其通解为222()dxdxxxuexedxC24352211()55xCxCxx原方程的通解为：2351xcxy25形如的方程称为伯努利方程，yxQyxPdxdy)()()()(1xQyxPdxdyy然后令,就可将其化为新未知函数u的一阶线性微分方程.uy1如例7.2.7所示方程即为伯努利方程，其中α为任意常数.当α=0时，该方程是一阶线性微分方程，当α=1时，它是一阶齐次线性微分方程.一般地，原方程两边同除以y，得：α267.3高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程.高阶微分方程的一般形式为：0),,,,()(nyyyxF或者)1()(,,,,(nnyyyxfy本节我们主要讨论可降阶的高阶微分方程及常系数线性微分方程.1.可降阶的高阶微分方程2.二阶线性微分方程解的结构3.二阶常系数齐次线性微分方程4.二阶常系数非齐次线性微分方程271.可降阶的高阶微分方程对于有些高阶微分方程，我们可以通过适当的变量代换，把它们化为较低阶微分方程来求解，这种类型的方程称为可降阶的方程.这里我们将讨论三种容易降阶的高阶微分方程的求解法.（1）型微分方程（2）型微分方程（3）型微分方程()()nyfx(,)yfxy(,)yfyy28(1))()(xfyn型微分方程这类方程的特点是右端仅含有自变量x，只要把作为新的未知函数，将原来的n阶方程化为新的未知函数的一阶微分方程.两端积分，)1(ny)1(ny得到一个(n－1)阶微分方程1)1()(Cdxxfyn上式两端再一次积分，得21)2())((CxCdxdxxfyn依此继续进行，接连积分n次，便得到原来的n阶微分方程的含有n个任意常数的通解.29(2)),(yxfy型微分方程这类方程的特点是方程中不显含未知函数y.令py,则py,代入原方程，得),(pxfp这是关于未知函数p),(1Cxp则原微分方程的通解为21),(CCxy30(3)),(yyfy型微分方程这类方程的特点是方程中不显含自变量x.dydppdxdydydpdxdpypy,设,方程化为),(pyfdydpp这是一个关于变量y、p的一阶微分方程，再按一阶方程的方法求解.31例7.3.1解二阶微分方程xxey解:积分一次得1)1(Cexdxxeyxx再积分一次1(1)xyxedxCx即为所求的通解.12(2)xxeCxC32例7.3.2求初值问题3|,1|,2)1(002xxyyyxyx的解.解:设py,代入方程并分离变量后，有dxxxpdp212两端积分Cxp)1ln(||ln2)1(21xCyp即)1(32xy3|0xy由条件得,所以13C33133xxy两端再积分，得233Cxxy又由条件1|0xy，得=1，于是所求特解为2C34例7.3.3解方程2yyy解:令dydppypy,,得2pdydpyp当p≠0,有pdydpy分离变量，得ydypdp两边积分，得yCpCyp11,ln||ln||ln35即yCdxdy1分离变量，得21ln||lnCxCy故通解为xceCy12362.)()()(xfyxQyxPy(7.3.1)若(7.3.1)式右端f(x)≡0，那么称方程是齐次的，0)()(yxQyxPy(7.3.2)否则称方程是非齐次的.当P(x),Q(x)都是常数时，称为二阶常系数线性微分方程在实际问题中应用得较多的一类高阶微分方程是二阶线性微分方程，其一般形式为37下面我们讨论二阶线性微分方程解的结构，这些结构可以推广到n阶线性微分方程.()(1)1()nnypxy1()()()nnpxypxyfx38以下定理均略去证明.定理7.3.1若y1,y2是方程(7.3.2)的两个特解,且≠常数,则就是方程(7.3.2)的通解.21yy2211yCyCy例如易验证xy2cos1及xy2sin2都是方程y″+4y=0的解，且xxxyy2tan2cos2sin21≠常数，因此xCxCy2cos2sin21是方程y″+4y=0的通解.39定理7.3.2设y*是二阶非齐次线性微分方程(7.3.1)的一个特解,是方程(7.3.1)所对应的齐次线性微分方程(7.3.2)的通解,那么2211yCyCy*yyy是二阶非齐次线性微分方程(7.3.1)的通解.40定理7.3.3设非齐次线性方程(7.3.1)的右端f(x)是几个函数之和,如)()()()(21xfxfyxQyxPy而*1y与*2y分别是方程),()()(1xfyxQyxPy)()()(2xfyxQyxPy的特解，那么*2*1yy就是原方程的特解.413.二阶常系数齐次线性微分方程我们先讨论二阶常系数齐次线性微分方程0qyypy(7.3.3)的解法，其中p，q为常数.我们看到，当r为常数时，指数函数及其各阶导数只相差一个常数因子.rxey因此，我们用来尝试.使满足方程(7.3.3).rxeyrxey把代入(7.3.3)，可得rxey0)(2rxeqprr42就行.代数方程(7.3.4)称为微分方程(7.3.3)的特征方程.02qprr(7.3.4)由于，所以要想是(7.3.3)的解，只要r满足0rxerxey这样一来，求解二阶常系数齐次线性微分方程问题就能化为求解一个二次代数方程(7.3.