考研高数辅导(4)

高等数学第4章向量代数与空间解析几何向量代数、空间解析几何一、向量的基本概念二、向量运算三、空间解析几何的基本概念四、平面方程五、空间直线方程六、几种常见曲面及曲线七、空间曲线在坐标面上的投影八、综合练习一、向量的基本概念1.向量既有大小,又有方向的量叫做向量.在几何上,用带箭头的直线段表示向量.箭头所指即为该向量的方向,线段的长度即为该向量的大小.ABAB通常将以为起点、为终点的向量记为或AB.,,,,,abF也可将向量记为或等.abFABABABABab2.向量的模、单位向量、零向量,,,aAB向量的大小称为该向量的,模记为a,.,AB等等在几何上就是线段之长,亦即ABAB,.AB两点之间的距离1单位向量模等于的向量称为.显然,单位向量不是唯一的,不同方向上的单位向量是不同的.的a00,.ABAB单位向量记为的单位向量记为a,OxOyOz轴、轴、轴正向上的单位向量分别,,.记作ijk3.二向量相等、负向量、自由向量若向量和的模相等、方向相同,则称与aba,.相等记为abb若与的模相等、而方向相反,则称是baba,.,的负向记为-即任何向量量都有唯一aba.00的负向量.的负向量仍为aa0.0零向量,模为零的向量称为记为或零向量的方向可以看作是任意的.,,在数学上一般只考虑向量的模和方向而不考虑向量的起点和终点,称这自样的向量为由向量.也就是说,向量经过平移后是不变的.今后讨论的都是自由向量.4.二向量间的夹角、平行ba(,)[0,π].规定abπ若向量与的方向相同或相反（即夹角为或，0）ab则称与平行，或共线，记为//abab.5.向径、向量的坐标表达式、方向余弦为便于对向量进行运算,我们将向量置于空间直角坐标系中.,(,,)OMxyz起点在原点终点为的向量称为OM,.(,,).Mxyz向径通常也用表示显然,点rrOM,,(,,).xyzxyz通常也称是的三个坐标,并记OMOM利用向量在坐标轴上的投影及数与向量的乘法,.xyz又可将向径表示为：OMOMijk111(,,)Axyz利用向量的加(减)法,可将起点为、终222(,,)Bxyz点为的向量表示为AB212121()()().xxyyzzABijk(,,)xyzxyz称为向量坐标表达式aijka.简记为OxOyOz向量与轴、轴、轴正向之间的夹角,称为a,,,.,,π.的(三个)方向角依次记为规定0a,,方向角确定了向量的方向.不过更多的是以的acos,cos,cos,余弦来表示的方向并称它们为的a方向余弦.有了向量的坐标表达式,立即可得模与方向余弦,xyz的计算公式：设则aijk222;xyza222222222coscoscos.,,xxyzyxyzzxyz222coscoscos1.Oyxza)二、向量运算1.向量的加减法1)平行四边形法则abababababbaab()abab2)三角形法则1a2a3a4a5a12345a=aaaaaa3)多个向量相加的多边形法则4)用坐标表达式进行加减运算111222,,xyzxyz设则aijkbijk121212()()().xxyyzzabijk——对应坐标相加(减)5)加法运算律;①交换律abba;②结合律abcabc.③三角不等式abab2.数与向量的乘法(数乘)1)(,,)xyz数与向量的乘积是一个向量：aa①=；aa0,0,0.0②当时与同向当时与反向当时aaaaaa2a1.5a显然,即a//a.与共线aa2)(,,)(,,).xyzxyza——用乘的每一个坐标a.3)1,Rs.t.a//bab.4)数乘的运算律1()（对于向量加法的分配律）;abab2()（对于数的加法的分配律）;aaa3()（与数的乘法的结合律）;（）aa3.二向量的数量积1),,cos(,)定义:设有数积称与量为的,abababab,cos(,).记为(故也称点积)即abababab111222,,xyzxyz2)设则aijkbijk121212.xxyyzzab——对应坐标乘积之和.0.0规定：a,aaa121212222222111222cos(),,().xxxxyyzzyzyz00abababab3)用数量积表示向量的模、夹角4)数量积的运算律1();交换律abba3()与数乘的结合律（）（）.abab2();对于加法的分配律（）abcabac40.0,（正定性）aaa5)cosPrj(),0aabababacosPrj().0bababbab0Prj(),0ababa0Prj().0baabb,由此可将投影表示为点积：6)二向量垂直的充分必要条件记为ab.0abab1212120.xxyyzzπ,,(,),200设若则称与垂直或正交，ababab.零向量与任何向量垂直1)定义设是由向量和所确定的向量,且满足cabsin(,);①c=abab,;②cacb,,③成右手系，abc则称是与的，记为，即向量积通向量积cababcab.,,.0000有规定：aa=a=常也称为叉积.4.二向量的向量积四边形的面积.ab)sin(,),易知表示以为邻边的平行abababab,,;000特别地ii=jj=kk=0显然，aa=,,;而ij=kjk=iki=j,,.ji=kkj=iik=jsinhb2)向量积的运算律1；（不满足交换律！）abba2;,abcabacabcacbc3;ababab111222(),(),,,,,xxyzyz设则ab111222)()xxyzyz(abijkijk3)向量积的坐标表达式111222xyzxyzijk记为111111222222.xyzxzxyyzxzyijk()()4)二向量平行的充分必要条件0aa/b/b111222.xyzxyz,s.t.1Rab111222(,,),(,,)xyzxyz00,设则ab1)定义称为三个向量的混合积,记为abc,,abc[].abc显然,三个向量的混合积是一个数量.2)混合积的坐标表达式111222333,,,,,,,,xyzxyzxyz设则,abc][abcbac222222111333333,,,,yzxzxyxyzyzxzxy222222111222333111333333.yzxzxyxyzyzxzxyxyzxyzxyz3.三向量的混合积3)混合积的几何意义()V以,,为棱的平行六面体abcabccababh4)向量共面，当且仅当,,abc由此可得：0abc1112223330.xyzxyzxyz1112223334441.1(,,),(,,),(,,),(,,)AxyzBxyzCxyzDxyz例设点,.ABCDV不共面求四面体的体积16VABACADABCD,,,ABACAD解作向量则1212121313134141411.6xxyyzzxxyyzzxxyyzz5),即由定义可知abcabc]].[[abccabπ12,,1,(,),3abbab例.设都是非零向量且求0lim.xaxbax2200lim=lim+xxaxbaaxbaxxaxba解002+=lim==lim++xxaxbaxbaaabxbbaxbaxaxbaπcos2311=1.22+ababaaa三、空间解析几何的基本概念1.曲面概念,在三维空间中按某种规律运动的动点的轨迹,一般地说是一张曲面.曲面也可以看作是满足一定条件的空间点的集合.平面是曲面的特例,而空间曲线看成是两曲面的交线.2.曲面与方程,在空间直角坐标系下若曲面上每一点的坐标(,,)(,,)0,xyzFxyz都满足某个三元方程而不在上的点(,,)0Fxyz点的坐标都不满足这个方程,则称为的方程；(,,)0Fxyz而将曲面称为方程的图形.4.空间解析几何的基本问题1)(),由曲面的轨迹条件建立其方程；2),由曲面的方程研究其性态(最重要的是画出其图形).3.空间曲线的方程12:(,,)0,:(,,)0.FxyzGxyz设12(,,)0,=(,,)0.FxyzGxyz若曲线，则的方程为四、平面方程,,任一平面在空间直角坐标系下与三元一次方程0(,,)AxByCzDABC不全为零1.一一对应1称为平面的一般式方程.1.平面的一般式方程0,0DAxByCz其中即表示过原点的平面;0,0CAxByDOz即表示平行于轴的平面;0,0BAxCzDOy即表示平行于轴的平面;0,0AByCzDOx即表示平行于轴的平面;,0,0DByCzOx特别地若还有则过轴;00.AxCzOyAxByOz过轴;过轴0()CzDxOyOz平面平行于坐标面垂直于轴;0()ByDzOxOy平面平行于坐标面垂直于轴;,;0xOyz坐标面的方程为特别地.0yOzx坐标面的方程为;0zOxy坐标面的方程为0()AxDyOzOx平面平行于坐标面垂直于轴.oxyz2.平面的点法式方程000(,,),(,,)xyzABC0过点法向量为的n000()()()0.2AxxByyCzz平面的方程为2方程称为平面的点法式方程.3.平面的截距式方程1,yxzabc3,,abc其中分别称为在xyz轴、轴、轴上的截距.称为平面的截距式方程.311n211111:0,AxByCzD设22222:0,AxByCzD1111(,,),ABCn2222(,,)ABC，n2n121212:,().定义二平面的法向量与之间的夹角,称与间的夹角通常指锐角nn4.二平面的位置关系(1)二平面的夹角121212222222111222||cos.AABBCCABCABC则有公式(2)二平面垂直、平行的充分必要条件12π,2当时故12121211220;AABBCCnn120//,当时故1111222212////.ABCABCnn0PMnd5.点到平面的距离公式000(,,)0PxyzxByCzD设是平面：P外的一点，则点到的距离为000222.AxByCzDdABC111(,,),Mxyz证在上任取一点010101(,,),MPxxyyzz作向量0101010222()()()AxxByyCzzdMPABCnPrj().dMP则见右图n000111000222222().AxByCzAxByCzAxByCzDABCABC0122.1(1,1,1):231:2Mxzxyz例求过点且与平面及均垂直的平面的方程1212,且，且于解是nnnn12//12343,111ijknnnijk(1,4,3).可取n0,M又因为过点故由点法式知:(1)4(1)3(1)0,xyz:43+60.xyz即1232.2(1,