全等三角形的判定方法

第1页全等三角形的判定方法【考点精讲】1.一般三角形全等的判定（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（SSS）；（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（SAS）；（3）如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（ASA）；（4）如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（AAS）。2.直角三角形全等的判定斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）3.证明三角形全等的思路（1）已知两边找夹角找直角找另一边（2）已知一边一角边为角的对边时，找另一角边为角的邻边时找夹角的另一边找夹边的另一角找边的对角（3）已知两角找任意一边注：1.判定三角形全等必须有一组对应边相等；2.判定三角形全等时不能错用“SSA”“AAA”来判定。【典例精析】例题1如图所示，90EF，BC，AEAF，结论：①EMFN；②CDDN；③FANEAM；④ACNABM△≌△。其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个思路导航：因为90EF，BC，所以∠EAB=∠FAC，又因为AEAF，所以△AEB≌△AFC，所以AC＝AB。在△ACN和△ABM中，因为BC，AB＝AC，∠CAB=∠CAB，所以△ACN≌△ABM，④正确；因为∠EAB=∠FAC，所以∠EAB－∠CAB=∠FAC－∠CAB，即∠EAM=∠FAN，③正确；在△EAM和△FAN中，∠EAM=∠FAN，AEAF，90EF，所以△EAM≌△FAN，所以EMFN，①正确；由已知条件不能判断出CDDN，故正确的个数是3个。第2页答案：C点评：此类问题一般从结论出发，一一进行判断，找出相应的一对三角形，看看是否能根据已知信息，寻求到三角形全等的条件。例题2如图，一个含45°角的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。思路导航：寻找线段AE与EF的数量关系，可将AE、EF分别放到△HAE和△CEF中去考虑，根据条件可推导出这两个三角形两角和一边对应相等，从而可证出△HAE≌△CEF，进而得到AE＝EF。答案：AE＝EF。∵△HBE是一含45°角的直角三形，∴∠H＝∠HEB＝45°，HB＝EB，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠DCB＝∠DCE＝90°，AB＝CB。∴HB－AB＝EB—CB，即HA＝CE。∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°＝∠B，∵∠HAE＝∠B+∠AEB，∠CEF＝∠AEF+∠AEB，∴∠HAE＝∠CEF，又∵CF平分∠DCE∴∠ECF＝21∠DCE=45°＝∠H，∴△HAE≌△CEF（ASA）。∴AE＝EF。点评：本题实际考查全等三角形的判定，学生要能把已知条件进行适当转换，从中找到可以证明全等的条件，从而判定两三角形全等，得出结论。例题3如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB。（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：CF＝EF。第3页思路导航：（1）要找出全等三角形，可以从条件出发，根据图形特征进行猜想，先找小三角形的全等，再找大三角形的全等，关键是能否找出符合三角形全等的条件；（2）本小题是构造全等三角形的过程，可以把要证明的线段放在相应的三角形中，由三角形全等得到证明。答案：（1）△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF。（2）证法一：如图，连接CE。∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE。∴∠ACE＝∠AEC。又∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴∠ACB＝∠AED。∴∠ACE－∠ACB＝∠AEC－∠AED。即∠BCE＝∠DEC。∴CF＝EF。证法二：如图。∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD，∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即∠CAD＝∠EAB。∴△ACD≌△AEB。∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE。又∵∠ADE＝∠ABC，∴∠CDF＝∠EBF。又∵∠DFC＝∠BFE，∴△CDF≌△EBF。∴CF＝EF。证法三：如图，连接AF。第4页∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°。又∵AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△ADF。∴BF＝DF。又∵BC＝DE，∴BC－BF＝DE－DF。即CF＝EF。点评：解答此类问题，首先要准确找出全等三角形，根据图形观察猜想，然后找出符合三角形全等的条件。要证明两条线段相等，通常可以先观察这两条线段是否在两个不同的三角形中，如果是，则可通过证明两三角形全等来解决。【总结提升】1.利用全等三角形证明线段相等或角相等时，常需要添加一些辅助线构造三角形，其目的就是将某些满足条件的全等三角形从图中直接显现出来。2.证明直角三角形全等的方法有五种——SSS，SAS，ASA，AAS，HL，它们各自独立，解题时应注意选择合适的方法。当然，在解决一个问题时，有时会用到一种或多种三角形全等的判定方法。3.在寻找三角形全等的条件时，我们可以在对应的条件上作相同的标记，避免重复和遗漏。（答题时间：30分钟）一、选择题1.如图，在△ABC和△DCB中，若∠ACB＝∠DBC，则不能证明两个三角形全等的条件是（）A.∠ABC＝∠DCBB.∠A＝∠DC.AB=DCD.AC=DB2.如图，AB＝AD，BC＝DC，则图中全等三角形共有（）第5页A.2对B.3对C.4对D.5对二、填空题*3.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是三角形全等，则判定三角形全等的依据是________________。*4.如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，其中能使△ABC≌△AED的条件有（）个。**5.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝___________度。三、解答题6.如图所示，AB＝AD，BC＝CD，AC，BD交于E，由这些条件你能推出哪些结论（不再添加辅助线，不再标注其他字母，不写推理过程，只要求你写出四个你认为正确的结论）。**7.一个风筝如图，两翼AB＝AC，横骨BE⊥AC于E，CF⊥AB于F。问其中骨AD能平分∠BAC吗？为什么？**8.我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在什么情况下，它们会全等？第6页（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）。对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl。求证：△ABC≌△A1B1C1。（请你将下列证明过程补充完整。）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1。则∠BDC=∠B1D1C1=90°，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1。（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。**9.两个大小不同的等腰直角三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：DC⊥BE。第7页1.C解析：SSA不能判定三角形全等。2.B解析：△ADE≌△ABE，△ADC≌△ABC，△DEC≌△BEC3.SSS解析：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，则∠COD≌∠C'O'D'，即∠A'O'B'=∠AOB（全等三角形的对应角相等）。4.3解析：增加①AB＝AE，则△ABC≌△AED（SAS）；增加③∠C＝∠D，则△ABC≌△AED（ASA）；增加④∠B＝∠E，则△ABC≌△AED（AAS）。5.90解析：∵∠CAB＝∠EDF＝90°，∴△ABC与△DEF为直角三角形，又∵EF＝BC，AC＝DF，△ABC≌△DEF，∴∠ABC＋∠DFE=∠ABC＋∠ACB=90°6.（1）△ADC≌△ABC；（2）AC平分∠DCB；（3）AC平分∠DAB；（4）DE＝EB；（5）DB⊥AC；7.AD能平分∠BAC；解：由∠1＝∠2，得∠B＝∠C，又AB＝AC，故△ABE≌△ACF，从而AE＝AF，又AD＝AD，故Rt△ADF≌Rt△ADE，得∠FAD＝∠EAD8.（1）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于DB1D1⊥C1A1于D1则∠BDC=∠B1D1C1=90°∵BC=B1C1，∠C=∠C1∴△BCD≌△B1C1D1∴BD=B1D1又∵AB=A1B1∠BDC=∠B1D1C1=90°∴△ABD≌△A1B1D1∴∠A=∠A1又∵AB=A1B1，∠C=∠C1∴△ABC≌△A1B1C1（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个同类三角形（同为锐角、直角、钝角三角形）一定全等9.△BAE≌△CAD解：①∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE，在△BAE和△DAC中AB=AC∠BAE=∠DACAE=AD∴△BAE≌△CAD（SAS）②由①得△BAE≌△CAD∴∠DCA=∠B=45°∵∠BCA=45°∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°∴DC⊥BE