双曲线简单几何性质知识点总结

1四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数2a（0＜2a＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。定点叫做双曲线的焦点；|F1F2|=2c，叫做焦距。●备注：①当|PF1|-|PF2|=2a时，曲线仅表示右焦点F2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF2|-|PF1|=2a时，曲线仅表示左焦点F1所对应的双曲线的一支（即左支）；②当2a=|F1F2|时，轨迹为以F1，F2为端点的2条射线；③当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在。双曲线12222byax与12222bxay（a0,b0）的区别和联系标准方程12222byax（a0,b0）12222bxay（a0,b0）图像A2A1F2F1xOyA2A1F2F1xOy性质范围对称性顶点坐标焦点坐标实、虚轴渐近线准线方程离心率焦半径通径a，b，c之间的关系2xyQB1B2A1A2NMO（二）双曲线的简单性质1．范围：由标准方程12222byax（a＞0，b＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大。x的取值范围________,y的取值范围______2.对称性：对称轴________对称中心________3．顶点：(如图)顶点：____________特殊点：____________实轴：21AA长为2a,a叫做半实轴长奎屯王新敞新疆虚轴：21BB长为2b，b叫做半虚轴长奎屯王新敞新疆双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的离心率奎屯王新敞新疆范围：___________________双曲线形状与e的关系：1122222eacaacabk，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔奎屯王新敞新疆由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔奎屯王新敞新疆5．双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数)0(acace的点的轨迹是双曲线奎屯王新敞新疆其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线奎屯王新敞新疆常数e是双曲线的离心率．准线方程：对于12222byax来说，相对于左焦点)0,(1cF对应着左准线caxl21:，相对于右焦点)0,(2cF对应着右准线caxl22:；6．渐近线过双曲线12222byax的两顶点21,AA，作x轴的垂线ax，经过21,BB作y轴的垂线by，四条直线围成一个矩形奎屯王新敞新疆矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0byax），这两条直线就是双曲线的渐近线奎屯王新敞新疆双曲线无限接近渐近线，但永不相交。37．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线奎屯王新敞新疆性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2e奎屯王新敞新疆8．共渐近线的双曲线系与双曲线12222byax（a＞0，b＞0）共渐近线的双曲线方程可表示为2222byax(λ≠0且λ为待定常数)●备注：与双曲线12222byax(a＞b＞0)共焦点的双曲线方程可表示为1-2222byax(λ＜a2,且b2＞-λ)例1求与双曲线-＝1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.9．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线奎屯王新敞新疆区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同奎屯王新敞新疆共用一对渐近线奎屯王新敞新疆双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上奎屯王新敞新疆确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1奎屯王新敞新疆10.双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点21,FF的连线段，叫做双曲线的焦半径焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线)0,0(12222babyax，21,FF是其左右焦点奎屯王新敞新疆则由第二定义：edMF11，ecaxMF201axMF01e同理aexMF02奎屯王新敞新疆11．通径定义：过焦点且垂直于对称轴的焦点弦奎屯王新敞新疆abd22奎屯王新敞新疆