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..线面、面面平行的判定与性质基础巩固强化1.(文)(2011·北京海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误．．的是()A．若m∥β，则m∥lB．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥lD．若m⊥l，则m⊥β[答案]D[解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立．(理)(2011·泰安模拟)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β[答案]D[解析]A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．2．(文)(2011·邯郸期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是()A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥n..D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β[答案]D[解析]选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．(理)(2011·浙江省温州市测试)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nB．l⊥β，α⊥β⇒l∥αC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，l⊥α⇒l⊥β[答案]D[解析]对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l⊂α这种情形；对于选项C，可能出现n⊂α这种情形．故选D.3．(2011·宁波模拟)已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中的假命题是()A．若α∥β，l⊂α，则l∥βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β[答案]C[解析]对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C.4．(2011·广东揭阳模拟)若a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线与a异面..B．α内与a平行的直线不存在C．α内存在唯一的直线与a平行D．α内的直线与a都相交[答案]B[解析]由条件知a与α相交，故在平面α内的直线与a相交或异面，不存在与a平行的直线．5．(2012·石家庄二模)三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长分别为2、m、n，其中m2＋n2＝6，则该三棱锥体积的最大值为()A.12B.8327C.33D.23[答案]D[解析]令m＝n，由m2＋n2＝6得m＝n＝3，取AB的中点E，则BE＝22，PB＝3，∴PE＝102，CE＝102，∴EF＝2，∴VP－ABC＝13S△PEC·AB＝13×(12×2×2)×2＝23，∵2312，∴2333，238327，故选D...6．(2011·苏州模拟)下列命题中，是假命题的是()A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件[答案]D[解析]三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个平面平行，从而第三边也与这个平面平行，∴A真；假设在β内经过B点有两条直线b、c都与a平行，则b∥c，与b、c都过B点矛盾，故B真；∵γ∥δ，α∩γ＝a，α∩δ＝b，∴a∥b，同理c∥d；又α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c∥d，故C真；正方体ABCD..－A1B1C1D1中，AC与平面AA1D1D和平面CC1D1D所成角相等，但平面AA1D1D∩平面CC1D1D＝DD1，故D假．7．(2012·北京东城区综合练习)在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β.其中正确命题的序号为________．[答案]②[解析]①中，互相平行的两条直线的射影可能重合，①错误；②正确；③中，平面α与平面β不一定垂直，所以直线n就不一定垂直于平面β，③错误；④中，若平面α内的三点A、B、C在一条直线上，则平面α与平面β可以相交，④错误．8．(2011·福建文，15)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．..[答案]2[解析]∵EF∥平面AB1C，平面ABCD经过直线EF与平面AB1C相交于AC，∴EF∥AC，∵E为AD的中点，∴F为CD的中点，∴EF＝12AC＝12×22＝2.9．(2011·郑州一检)已知两条不重合的直线m、n，两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若n⊥α，m⊥β，且n∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确命题的序号是________．[答案]②④[解析]对于①，直线m可能位于平面α内，此时不能得出m∥α，因此①不正确；对于②，由n⊥α，m∥n，得m⊥α，又m⊥β，所..以α∥β，因此②正确；对于③，直线m，n可能是两条平行直线，此时不一定能得出α∥β，因此③不正确；对于④，由“如果两个平面相互垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面”可知，④正确．综上所述，其中正确命题的序号是②④.10．(文)(2012·辽宁文，18)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M、N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积(锥体体积公式V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高)．[分析](1)欲证MN∥平面A′ACC′，须在平面A′ACC′内找到一条直线与MN平行，由于M、N分别为A′B，B′C′的中点，B′C′与平面A′ACC′相交，又M为直三棱柱侧面ABB′A′的对角线A′B的中点，从而M为AB′的中点，故MN为△AB′C′的中位线，得证．(2)欲求三棱锥A′－MNC的体积，注意到直三棱柱的特殊性和点M、N为中点，可考虑哪一个面作为底面有利于问题的解决，视A′MC为底面，则S△A′MC＝12S△A′BC，∴VA′－MNC＝12VN－A′BC，..又VN－A′BC＝VA′－NBC，易知A′N为三棱锥A′－NBC的高，于是易得待求体积．[解析](1)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.(2)连结BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝12B′C′＝1，故VA′－MNC＝VN－A′MC＝12VN－A′BC＝12VA′－NBC＝16.[点评]本题考查了线面平行的证明，锥体的体积两方面的问..题，对于(1)还可以利用面面平行(平面MPN∥平面A′ACC′，其中P为A′B′的中点)来证明；(2)还可利用割补法求解．(理)(2012·浙江文，20)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值．[分析](1)①欲证EF∥A1D1，∵B1C1∥A1D1，∴只需证EF∥B1C1，故由线面平行的性质定理“线面平行⇒线线平行”可推证．②要证BA1⊥平面B1C1EF，需证BA1⊥B1C1，BA1⊥B1F，要证BA1⊥B1C1，只需证B1C1⊥平面AA1B1B，要证BA1⊥B1F，通过在侧面正方形AA1B1B中计算证明即可．(2)设BA1与B1F交于点H，连结C1H，则∠BC1H就是所求的角．[解析](1)①∵C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，∴C1B1∥平面A1D1DA.又∵平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，∴C1B1∥EF，∴A1D1∥EF...②∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，又∵B1C1⊥B1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.∴B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝22，即∠A1B1F＝∠AA1B，∴BA1⊥B1F.又∵BA1⊥B1C1，所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，由AB＝2，AA1＝2，得BH＝46.在Rt△BHC1中，由BC1＝25，BH＝46得，sin∠BC1H＝BHBC1＝3015.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是3015.[点评]本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面角等基..础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力.能力拓展提升11.(文)(2011·北京模拟)给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0[答案]C[解析]①设α∩β＝a，当l，m都与a相交且交点不重合时，满足①的条件，故①假；②中分别在两个平行平面内的两条直线可能平行，也可能异面，故②假；由三棱柱知③真；故选C.(理)如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，..则P为()A．KB．HC．GD．B′[答案]C[解析]假如平面PEF与侧棱BB′平行则和三条侧棱都平行，不满足题意，而FK∥BB′，排除A；假如P为B′点，则平面PEF即平面A′B′C，此平面只与一条侧棱AB平行，排除D.若P为H点，则HF为△BA′C′的中位线，∴HF∥A′C′；EF为△ABC′的中位线，∴EF∥AB，HE为△AB′C′的中位线，∴HE∥B′C′，显然不合题意，排除B.[点评]此题中，∵EF是△ABC′的中位线，∴EF∥AB∥A′B′，故点P只要使得平面PEF与其他各棱均不平行即可，故选G点．12．(文)(2012·江西文，7)若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为()A.112B．5C.92D．4[答案]D..[解析]由三视图知该几何体为直六棱柱．其底面积为S＝2×[12×(1＋3)×1]＝4，高为1.所以体积V＝4.(理)(2012·四川文，6)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行[答案]C[解析]本题考查了线面角，面面垂直，线面平行，面面平行等位置关系的判定与性质，对于A选项，两条直线也可相交，B选项若三点在同一条直线上，平面可相交．