立体几何的向量方法(建系)

运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):（1）建系转化：把立体几何问题转化为向量问题（2）向量运算：运用向量相关知识。（3）回到图形下结论：把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.yzxoXYZyxz1、图形直观yxz1、图形直观yxzyxz1、图形直观yxz1、图形直观例2.(北京卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.(1)求证:AA1⊥平面ABC;(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值;(3)证明:在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.1BDBCyxz例3.如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB与△ABD都是边长为2的等边三角形.(1)证明：PB⊥CD.(2)求二面角A-PD-C的余弦值.EOyxzOyxzOyxzOyxzEyxzEyxz例4.(大纲全国卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．xyzxyzyxz问题:如何求平面的法向量?⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.nab练1.在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.,ABCD1ABBDCD,,ABBDCDBDABDBDABDBCD例1、（2014福建理）将沿折起，使得平面，如图.平面CDAB（1）求证：（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成的角的正弦值。yxz1111ABCDABCD1AAABCD底面//ABDC例2、（2013福建理）如图，在四棱柱中，侧棱，11AA3ABk4ADk5BCk6DCk(0)k，，，，（1）求证：11;CDADDA平面67k（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为求的值yxz例3、（2012福建理）18、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；练习2、如图，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F，证明PA//平面EDB；oxyzxyzn1.有三条两两垂直的直线（墙角）时建系最方便；2.没有明显的“墙角”时需通过条件或辅助线“找墙角”或“造墙角”；3.实在没有时可借助直角建系，另一条坐标轴“悬空”.