解析几何中定值和定点问题

解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．【实例探究】题型1：定值问题:例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若为定值.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b=1.∴椭圆C的方程为（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知F点的坐标为（2，0）.将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得又例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0).1）求椭圆方程2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a²-b²=c²=1设椭圆方程为x²/（b²+1）+y²/b²=1将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b²-9=0解得b²=3（另一值舍）所以椭圆方程为x²/4+y²/3=1（2）设AE斜率为k则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①x²/4+y²/3=1②①，②联立得出两个解一个是A（1,3/2）另一个是E（x1，y1）①代入②消去y得（1/4+k²/3）x²-（2k²/3-k）x+k²/3-k-1/4=0根据韦达定理x1·1=（k²/3-k-1/4）/（1/4+k²/3）③将③的结果代入①式得y1=（-k²/2-k/2+3/8）/(1/4+k²/3)设AF斜率为-k，F（x2，y2）则AF方程为y-（3/2）=-k（x-1）④x²/4+y²/3=1②②④联立同样解得x2=（k²/3+k-1/4）/（1/4+k²/3）y2=（-k²/2+k/2+3/8）/（1/4+k²/3）EF斜率为（y2-y1）/(x2-x1)=1/2所以直线EF斜率为定值，这个定值是1/2。例3、已知椭圆)0(12222babyax的离心率为36，且过点)1,2(.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点BA,，试问在x轴上是否存在点M，使25MAMB3k1是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵椭圆离心率为63，∴63ca，∴2213ba.又椭圆过点（2，1），代入椭圆方程，得22211ab.所以225a5,b3.∴椭圆方程为221553xy，即22x3y5.（2）在x轴上存在点M1(,0)6，使25MAMB3k1是与K无关的常数.证明：假设在x轴上存在点M（m,0）,使25MAMB3k1是与k无关的常数，∵直线L过点C（-1，0）且斜率为K,∴L方程为yk(x1)，由),1(,5322xkyyx得0536)13(2222kxkxk.设),(),,(2211yxByxA，则1353,13622212221kkxxkkxx∵1122MA(xm,y),MB(xm,y),∴12112255MAMB(xm)(xm)yy3k13k1=21212251131xmxmkxxk=22122121225131kxxkmxxmkk=22222222235651313131kkkkmmkkkk=2222226331kmkmkmk设常数为t，则222222k6mk3mkmt3k1.整理得222(3m6m13t)kmt0对任意的k恒成立，223m6m13t0,mt0.解得1m6，即在x轴上存在点M（1,06），使25MAMB3k1是与K无关的常数.题型2：定点问题例4.已知椭圆C：12222byax(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线。（1）求椭圆的方程;(2)过点S（0，-1/3）的动直线L交椭圆C于A,B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。例5..在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）（Ⅰ）求m2+k2的最小值；（Ⅱ）若|OG|2=|OD|·|OE|，（ⅰ）求证：直线l过定点；（ⅱ）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由。解：（Ⅰ）由题意：设直线l：y=kx+n(n≠0)，由，消y得：，设A、B，AB的中点E，则由韦达定理得：=，即，，所以中点E的坐标为E，因为O、E、D三点在同一直线上，所以kOE=kOD，即，解得，所以m2+k2=，当且仅当k=1时取等号，即m2+k2的最小值为2。（Ⅱ）（ⅰ）证明：由题意知：n＞0，因为直线OD的方程为，所以由得交点G的纵坐标为，又因为，，且|OG|2=|OD|·|OE|，所以，又由（Ⅰ）知：，所以解得k=n，所以直线l的方程为l：y=kx+k，即有l：y=k（x+1），令x=-1得，y=0，与实数k无关，所以直线l过定点(-1，0)；（ⅱ）假设点B，G关于x轴对称，则有△ABG的外接圆的圆心在x轴上，又在线段AB的中垂线上，由（ⅰ）知点G，所以点B，又因为直线l过定点(-1，0)，所以直线l的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为，所以m2=6舍去，即m2=1，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G，圆半径为，圆的方程为；综上所述，点B，G关于x轴对称，此时△ABG的外接圆的方程为。【针对练习】1．椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点分别是12,FF,离心率为32,过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接12,PFPF,设12FPF的角平分线PM交C的长轴于点(,0)Mm,求m的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线12,PFPF的斜率分别为12,kk,若0k,试证明1211kkkk为定值,并求出这个定值.2、如图，(1,1)S是抛物线为22(0)ypxp上的一点，以S为圆心，r为半径（12r）做圆，分别交x轴于A，B两点，连结并延长SA、SB，分别交抛物线于C、D两点。(Ⅰ)求证：直线CD的斜率为定值；(Ⅱ)延长DC交x轴负半轴于点E，若EC:ED=1:3，求sin2cosCSDCSD的值。3、已知椭圆C:22221xyab(0ab)的离心率为21,点(1,32)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若椭圆C的两条切线交于点M(4,t),其中tR,切点分别是A、B,试利用结论:在椭圆22221xyab上的点(00,xy)处的椭圆切线方程是00221xxyyab,证明直线AB恒过椭圆的右焦点2F;(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，试探究2211||||AFBF的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由.4、椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P的距离为10．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线:lykxm与椭圆C相交于AB、两点(AB、不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．F2OxyPABF1A2l5、如图，已知椭圆22:1,,4xCyAB是四条直线2,1xy所围成长方形的两个顶点.（1）设P是椭圆C上任意一点，若,OPmOAnOB求证：动点(,)Qmn在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若MN、是椭圆C上的两个动点，且直线OMON、的斜率之积等于直线OAOB、的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，说明理由.【针对练习参考答案】1、解:(Ⅰ)由于222cab,将xc代入椭圆方程22221xyab得2bya由题意知221ba,即22ab又cea32所以2a,1b所以椭圆方程为2214xy(Ⅱ)由题意可知:11||||PFPMPFPM=22||||PFPMPFPM,11||PFPMPF=22||PFPMPF,设00(,)Pxy其中204x,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312xxx,因为204x,所以034mx,而0(2,2)x,所以33(,)22m(3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:0014xxyy,所以004xky,而0012,33yykkxx,代入1211kkkk中得00120033114()8xxkkkkxx为定值.2、解（1）将点（1，1）代入pxy22，得12p抛物线方程为xy2设)1(1xkySA的方程为直线，),(11yxC与抛物线方程xy2联立得：012kykyky111111ky)11,)1((22kkkC由题意有SBSA，kSB的斜率为直线21)1()1(11112222kkkkkkKCD（2）设)0,(tEEDEC31)11,)1((31)11,)1((2222ktkkktkk)11(3111kk2k12xySA的方程为直线)0,21(A同理)0,23(B532coscos222SASBABSBSAASBCSD∴4sin5CSD，24sin225CSD，因此：39sin2cos25CSDCSD3、解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为22221xyab(0ab)431222eab①点(1,32)在椭圆C上,221914ab②,由①②得:224,3ab椭圆C的方程为22143xy，(Ⅱ)设切点坐标11(,)Axy,22(,)Bxy,则切线方程分别为11143xxyy,22143xxyy.又两条切线交于点M(4,t),即1113txy,2213txy即点A、B的坐标都适合方程13txy,显然对任意实数t,点(1,0)都适合这个方程，故直线AB恒过椭圆的右焦点2F.(Ⅲ)将直线AB的方程13txy，代入椭圆方程,得223(1)41203tyy,即22(4)2903tyty所以122612tyyt,1222712yyt不妨设120,0yy,22222211119||(1)(1)93ttAFxyyy,同理2229||3tBFy所以2211||||AFBF=212212123113()99yyyyyytt=221212()3439yyyyt所以2211||||AFBF的值恒为常数434、解：（1）由题：12cea①左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离为：d=(2+c)2+12=10②由①②可解得c=1，a=2，b2=a2－c2=3．∴所求椭圆C的方程为x24+y23=1．（2）设A(x1,y1)、B(x2,y2)，将y=kx+m代入椭圆方程得(4k2+3)x2+8kmx+4m2