立体几何线线垂直专题(史上最全)

1ECABDP立体几何垂直总结1、线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD中，,BCACADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。证明：（1）BCACCEABAEBE同理，ADBDDEABAEBE又∵CEDEE∴AB平面CDE（2）由（1）有AB平面CDE又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥PABCD的底面是菱形．PBPD，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PAC平面BDE．AEDBC2例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC中90ACB,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC．证明：90ACB∵°BCAC又SA面ABCSABCBC面SACBCAD又,SCADSCBCCAD面SBC例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PAAC，点E是线段PC的中点.求证：AE平面PBC.证明：∵PAO所在平面，BC是O的弦，∴BCPA.又∵AB是O的直径，ACB是直径所对的圆周角，∴BCAC.∵,PAACAPA平面PAC，AC平面PAC.∴BC平面PAC，AE平面PAC，∴AEBC.∵PAAC，点E是线段PC的中点.∴AEPC.∵PCBCC,PC平面PBC，BC平面PBC.∴AE平面PBC.例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.求证：BD⊥平面AED；证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED.SDCBAACBPEO图23例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D证明：连结ACBDAC∵⊥∴AC为A1C在平面AC上的射影BDACACBCACBCD11111同理可证平面练习；1、如图在三棱锥P—ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.证明：AP⊥BC；D1C1A1B1DCAB42、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.证明：DC1⊥BC。3．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥EABD的侧面积．.4、在正三棱柱111CBAABC中，若AB=2，11AA，求点A到平面BCA1的距离。55、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD..66、如图7－5－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．7ECABDP立体几何垂直总结1、线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD中，,BCACADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。证明：（1）BCACCEABAEBE同理，ADBDDEABAEBE又∵CEDEE∴AB平面CDE（2）由（1）有AB平面CDE又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥PABCD的底面是菱形．PBPD，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PAC平面BDE．AEDBC8例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC中90ACB,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC．证明：90ACB∵°BCAC又SA面ABCSABCBC面SACBCAD又,SCADSCBCCAD面SBC例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PAAC，点E是线段PC的中点.求证：AE平面PBC.证明：∵PAO所在平面，BC是O的弦，∴BCPA.又∵AB是O的直径，ACB是直径所对的圆周角，∴BCAC.∵,PAACAPA平面PAC，AC平面PAC.∴BC平面PAC，AE平面PAC，∴AEBC.∵PAAC，点E是线段PC的中点.∴AEPC.∵PCBCC,PC平面PBC，BC平面PBC.∴AE平面PBC.例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.求证：BD⊥平面AED；证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED.SDCBAACBPEO图29例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D证明：连结ACBDAC∵⊥∴AC为A1C在平面AC上的射影BDACACBCACBCD11111同理可证平面练习；1、如图在三棱锥P—ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.证明：AP⊥BC；D1C1A1B1DCAB102、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.(1)证明：DC1⊥BC；证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.又AC＝12AA1，可得DC21＋DC2＝CC21，所以DC1⊥DC.又DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.因为BC⊂平面BCD，所以DC1⊥BC.3．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥EABD的侧面积．(1)证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，设F为AD边的中点，连接FB，∴△ABF为等边三角形，∠AFB＝60°，又DF＝BF＝2，∴△BFD为等腰三角形．∴∠FDB＝30°，故∠ABD＝90°.∴AB⊥BD.又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.(2)【解析】由(1)知AB⊥BD，∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.在Rt△DBE中，∵DB＝23，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE＝12DB·DE＝23.∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝12AB·BE＝4.∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD.而AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE＝12AD·DE＝4.综上，三棱锥EABD的侧面积S＝8＋23.4、在正三棱柱111CBAABC中，若AB=2，11AA，求点A到平面BCA1的距离。116如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.证明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA.又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.(2)取PD的中点G，连接AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点，∴GF綊12CD，∴GF綊AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF.∵PA＝AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG平面PAD.∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD.6、如图7－5－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．12【规范解答】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.2分又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.4分(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.6分又A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.9分(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEP.12分从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.14分