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专题学习：最短路径问题一、教学目标:知识与技能：理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。过程与方法：能利用轴对称解决实际问题中路径最短的问题。情感态度与价值观：通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。二、教学重、难点教学重点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。教学难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。三、学法指导自主探索，合作交流。四、教学过程（一）、创设情景，引入新知。同学们：我们已经学习过“两点之间的所有连线中，线段最短。”和“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”等问题，我们称他们为最短路径问题。（二）、自主学习，探究新知。1、如图所示，从A地到c地有四条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？2、两点在一条直线异侧：活动1:已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。FEDCBA思考：为什么这样做就能得到最短距离呢？你如何验证PA+PB最短呢？3、两点在一条直线同侧活动2：如图，牧马人从A地出发到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？（1）你能将这个问题抽象为数学问题吗？（2）这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？（三）巩固练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．（四）课堂小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？五、作业设置：教材第123页问题解决5六、教学反思数学思想方法是对数学的知识内容和所使用方法的本质的认识，它是形成数学意识和数学能力的桥梁，是灵活运用数学知识、数学技能和数学方法解决有关问题的灵魂。在初中阶段，转化思想不仅是众多数学思想方法的基础，更是解决实际问题的金钥匙。本节课自始至终体现转化思想的作用和价值。本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的专题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题,体现了数学化的过程和转化思想。最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，此前很少在几何中接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在直线l上找到点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“在直线l异侧两点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生在理解和操作上存在困难，需要教师耐心引导。