江苏大数学分析-第一章-实数集与函数习题课

第一章实数集与函数习题课一概念叙述1．叙述S 有上界，有下界，有界，无上界，无下界，无界的定义． S 有上界 ,, MxSÛ$Î有xM£； S 有下界 ,, LxSÛ$Î有xL³； S 有界Û S 既有上界又有下界 ,,, mLxSÛ$Î有Lxm££ 0,, MxSÛ$Î有 xM£； S 无上界 0 ,, MxSÛ$Î使得 0 xM； S 无下界 0 ,, LxSÛ$Î使得 0 xL； S 无界Û S 无上界或S 无下界 0 0,, MxSÛ$Î使得 0 xM．2．叙述 supS=h的定义．1）设S 为R 中的一个数集．若数h满足：（i）对一切 , xSÎ有xh£，即h是S 的上界；（ii）对任何ah，存在 0 xSÎ，使得 0 xa，即h是S 的最小上界（比h小的数就不是上界），则称数h为数集S 的上确界，记作 supS=h．2）设S 为R 中的一个数集．若数h满足：（i）对一切 , xSÎ有xh£，即h是S 的上界；（ii）对任何 0e，存在 0 xSÎ，使得 0 x-he，即h是S 的最小上界，则称数h也为数集S 的上确界．3．叙述 inf Sh=的定义．1）设S 为R 中的一个数集．若数x满足：（i）对一切 , xSÎ有xx³，即x是S 的下界；（ii）对任何bx，存在 0 xSÎ，使得 0 xb，即x是S 的最大下界（比x大的数就不是S 的下界），则称数x为数集S 的下确界，记作 inf Sx=．2）设S 为R 中的一个数集．若数x满足：（i）对一切 , xSÎ有xx³，即x是S 的下界；（ii）对任何 0e，存在 0 xSÎ，使得 0 x+xe，即x是S 的最大下界，则称数x为数集S 的下确界，记作 inf Sx=．4．叙述() fx 在D 上有上界,无上界,有下界,无下界，有界，无界．() fx 在D 上有上界Û M$， xDÎ，有() fxM£；() fx 在D 上无上界Û M， 0 xD$Î，使得() 0 fxM；() fx 在D 上有下界Û L$， xDÎ，有() fxL³；() fx 在D 上无下界Û L， 0 xD$Î，使得() 0 fxL． f 在D 上的有界Û 0 M$， xDÎ，有|()| fxM£； f 在D 上的无界Û 0 M， 0 xD$Î，使得 0 |()| fxM³．二疑难解析与注意事项1．注意有理数用分数形式 (,0 p pqq q¹为整数且)表示．在讨论具体问题时，我们常设 , pq互质．2．确界与最值有什么区别与联系？（1）S 的最值必属于S ,但确界未必属于S ，确界是一种临界点，例如() 0,1 的上确界1不属于() 0,1 ．（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值，例如() 0,1 有上下确界，但无最值．（3）若maxS 存在,必有maxsup. SS=对下确界有类似的结论．3．下列等式() arcsinsinxx=， xRÎ是否正确．答不正确，sinx在 ,22ppéù-êúëû单调增，则sinx在 ,22ppéù-êúëû上具有反函数arcsinx，由原函数定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数定义域，因此arcsinx定义域是[] 1,1-，值域是 ,22ppéù-êúëû．因此() arcsinsinx 的取值应该在 ,22ppéù-êúëû上．注：1）当 ,22 xppéùÎ-êúëû时，arcsin(sin) xx=．2）当[] 1,1 xÎ-时，sin(arcsin) xx=．4．试问周期函数是否必定有基本周期（最小正周期）．答否．例如，常数函数，狄利克雷函数都是周期函数．任何正实数都是常数函数的周期，任何正的有理数都是狄利克雷函数的周期，但是这两个函数都无最小正周期．5．设狄利克雷函数，() 1 gx x=， 1 x，试问复合函数 fg o和gf o是否存在？答设有两函数设有两个函数 (),,(), yfuuDugxxE=Î=Î，记{} () ExgxDE=ÎgI，若Ef¹g，，函数 f 与g 才能进行复合．1）对，DR=，() 1 gx x=， 1 x，有{} () ExgxDEE=Î=¹ÆgI于是 f 与g 可以复合成 fg o，其定义域为E ．（2）对() 1 gu u=，{} 1 Duu=，，ER={} () ExfxDE=Î=ÆgI，于是g 与 f 不能复合为gf o．6．由§2，习题7可知：若A，B 皆为有界数集，则有．() supsupsup ABAB+=+而本节教材例2中，若 f ，g 为D上的有界函数，则 sup{()()}sup()sup() xDxDxD fxgxfxgxÎÎÎ+£+而且可能成立严格不等式．上面二式是否有矛盾？为什么？答并不矛盾，这是因为{()()}{()}{()} fxgxxDfxxDgxxD+ÎÌÎ+Î而且在包含关系中左、右两边的集合可能不相等．例如，() fxx=，() gxx=-，[] 0,1 D=，易见{} {()()}0 fxgxxD+Î=，[] {()}{()}1,1 fxxDgxxDÎ+Î=-于是 {()()} fxgxxD+ι̠{()}{()} fxxDgxxDÎ+Î出现不等的原因在于数集{()}{()} fxxDgxxDÎ+Î中 x 是独立地取自 D 中．若把 {()()}{()}{()} fxgxxDfxxDgxxD+ÎÌÎ+Î式中左、右两边的数集看作相同而应用() supsupsup ABAB+=+，将导致错误的结论．三重点习题1．设a为有理数，x为无理数，证明：（1）ax+是无理数；（2）当 0 a¹时，ax是无理数．证（1）反证法，设ax+是有理数，则可设 n ax m+= (,0 mnm¹为整数且)，由于a为有理数，则可设 (,0 p apqq q=¹为整数且)，于是 npnqmp x mqmq-=-= (,0 mqnqmpmq-¹为整数且)，于是 x是有理数，矛盾，则ax+是无理数．（2）反证法，设ax 是有理数，则可设 n ax m= (,0 mnm¹为整数且)，由于a为有理数，则可设 (,0 p apqq q=¹为整数且)，由 0 a¹，知 0 p¹，于是 nq x mp= (,0 mpnqmp¹为整数且)，于是x是有理数，矛盾，则ax 是无理数．2．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则 p 是无理数．证（反证）假设 p 为有理数，则存在正整数 , mn使得 n p m=，其中 , mn互素．于是 22 mpn=，则m整除 2 n ，由于 , mn互素，则 , mn的最大公约数为1，于是存在 , uv ，使 1 munv+=，从而 2 mumnvm+=，于是m可整除n，这样 1 m=，从而 2 pn=，这与 p 不是完全平方数相矛盾，故 p 是无理数．3．设 , ab为任意实数，证明：|||||| 1||1||1|| abab abab+£+++++证我们将从函数 x x x f+= 1 ) ( 的性质着手证明不等式．设 x x x f+= 1 ) ( = x+- 1 1 1 ， 0 x，若 12 0 xx，则 ) ( ) ( 2 1 x f x f．因为 abab+£+，于是有 |||||| 1||1|||| abab abab++£++++ | | | | 1 | | | | | | 1 | | b a b b a a+++++= |||| 1||1|| ab ab£+++．4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）{}() 2 22,2 Sxx==-解 2 inf , 2 sup-== S S ．下面依定义加以验证sup2 S=，1） xSÎ，有 2 2- x ，即 2 是S 的一个上界，2） 2a，若 2a£-，则 0 xSÎ，都有 0 xa；若 22-a，则由实数的稠密性，在() ,2a必有实数 0 x ，即存在 0 xSÎ，使得 0 xa．所以sup2 S=．下证inf2 S=-1） xSÎ，有 2 2- x ，即 2-是S 的一个下界，2） 2a-，若 2a³，则 0 xSÎ，都有 0 xa；若 22-a，则由实数的稠密性，在() 2,-a必有实数 0 x ，即存在 0 xSÎ，使得 0 xa．所以inf2 S=-．（2） 1 1, 2 n SxxnN+ìü==-Îíýîþ．解因为nN+Î，对n取1,2,L，通过观察会发现sup1 S=， 1 inf 2 S=．分析：要证sup1 S=，只要证：1)1是上界： , xSÎ有 1 x£，显然成立；2）1是最小的上界（比1小的数不是上界）．即要证对任何 0e，存在 0 xSÎ，使得 0 1 x-e，即对任何 0e，要找到一个 0 xSÎ，使得 0 1 x-e，即对任何 0e，找一个 0 nN+Î，使得 0 0 1 1 2 n x=-且 0 1 x-e，找 0 nN+Î的方法-----要使 0 1 x-e，只要 0 1 11 2 n--e，即要 0 1 2 ne，即要 0 1 2 ne，即要 02 1 log ne，只要取 02 1 log1 néù=+êúeëû，就行．下证sup1 S=1） , xSÎ有 1 x£，即1是上界；2）对任何 0e，取 02 1 log1 néù=+êúeëû，则 0 0 1 1 2 n xS=-Î，且 0 1 x-e，因此sup1 S=．下证 1 inf 2 S=：1) , xSÎ因为nN+Î，因此 11 1 22 n x=-³，即 1 2 是下界；2）对任何 0e，取 1 n=，则 0 1 2 xS=Î，且 0 1 2 x+e，因此 1 inf 2 S=．注要证 supS=h，只要证（i）h是S 的上界：对一切 , xSÎ有xh£；（ii）h是S 的最小上界：对任何ah，存在 0 xSÎ，使得 0 xa．或对任何 0e，存在 0 xSÎ，使得 0 x-he．5．设S 为非空数集，定义{} | SxxS-=-Î，证明(1)infsup SS-=-；(2)supinf SS-=-．证（1）证infsup SS-=-，令 inf Sx-=，由下确界的定义知，1）x是下界，对任意的xS-Î，有xx³；2）x是最大的下界，比x大的不能作为下界．任意 , 0e，存在 0 xS-Î，使 0 x+xe．因为{} | SxxS-=-Î，当xS-Î，有 xS-Î．由1）对任意的 , xSxx-Î-£-，即-x是S 的上界；由2）任意 , 0e，存在 0 xS-Î，使 0 x---xe．由上确界的定义知supSx=-，即infsup SS-=-．（2）证supinf SS-=-．令 supS-=h，由上确界的定义知，1）h是上界，对任意的xS-Î，有x£h；2）h是最小的上界，比h小的不能作为上界．任意 , 0e，存在 0 xS-Î，使 0 x-he．因为{} | SxxS-=-Î，当xS-Î，有 xS-Î．由1）对任意的 , xSx-Î-³-h，即-h是S 的下界；由2）任意 , 0e，存在 0 xS-Î，使 0 x--+he．由下确界的定义知inf S=-h，即supinf SS-=-．6．设a为任意实数，A为R 中非空有界数集，证明： sup()sup, AaAa+=+ inf()inf AaAa+=+其中 } | { A x x a A aÎ+=+．证先证sup()sup, AaAa+=+．由supA的定义，满足：（i） A xÎ， sup xA£；（ii）ee-Î$ A x A x sup , , 0 0 0 ．于是又满足：（i） A xÎ， sup axaA+£+；（ii）ee-++Î$ A a x a A x sup , , 0 0 0 ．因而证得 A a A a sup ) sup(+=+．同理可证 inf()inf AaAa+=+．7．设A、B 皆为非空有界数集，定义数集{} ,, ABzz