波函数及薛定谔方程习题解

第二章波函数与薛定谔方程习题解门福殿教授著《量子力学》第1页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢第二章波函数与薛定谔方程1、一维运动的粒子处在(0)()0(0)xAxexxxλψ−⎧=⎨≤⎩的状态，其中0λ，求：（1）将此波函数归一化；（2）粒子坐标的概率分布函数；（3）在何处找到粒子的概率最大。解：（1）由归一化条件：222200|()|d||d1xxxAxexλψ∞∞−==∫∫有22222200||d||dxxAxexAxexλλ∞∞−−=∫∫2222033442|||||84xxxAAeλλλλλ−∞++=−=即：23||14Aλ=，因此322Aλλλ==10!dnaxnnxexa∞−+=∫归一化的波函数为：2(0)()0(0)xxexxxλλλψ−⎧⎪=⎨≤⎪⎩（2）粒子坐标的概率分布函数为：32224(0)()|()|0(0)xxexwxxxλλψ−⎧==⎨≤⎩（3）由3222d()4(22)0dxxwxxexexλλλλ−−=−=，有：1230,,1/xxxλ==∞=，据题意取31/xλ=。2、一个势能221()2Uxxμω=的线性谐振子处在221122(,)xitxtAeαωψ−−=的状态，其中,μωα=求：（1）归一化因子；（2）在何处发现粒子的概率最大。解：（1）由归一化条件：22112211222222|(,)|d||dxitxitxtxAeexαωαωψ−++∞+∞−−−∞−∞=∫∫2222||exp()d||1AxxAπαα+∞−∞=−==∫因此有：2||Aαπ=所以归一化因子为：Aαπ=（2）由22222222d()d|(,)|d[||exp()]||[2exp()]0dddwxxtAxAxxxxxψααα−===−−=得120;xx==∞，据题意，当10x=时，发现粒子的概率最大。第二章波函数与薛定谔方程习题解门福殿教授著《量子力学》第2页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢3、下列波函数所描写的状态是不是定态？（1）1(,)()exp()()exp()exp()EExtuxixitvxixitψ=−+−−；（2）122(,)()exp()()exp()EExtuxituxitψ=−+−；（3）3(,)()exp()()exp()EExtuxituxitψ=−+。解：判断是否定态可从下面三个方面来进行：1）能量是否为确定值；2）概率是否与时间无关；3）概率流密度是否与时间无关先看1(,)()exp()()exp()exp()EExtuxixitvxixitψ=−+−−[()exp()()exp()]exp()Euxixvxixit=+−−由此可见，其能量值为固定值E，故此状态为定态。对于122(,)()exp()()exp()EExtuxituxitψ=−+−，显然有两个可能的能量值1E和2E，所以不是定态。对于3(,)()exp()()exp()EExtuxituxitψ=−+，显然能量有个量取值E和E−可以验证概率密度及概率流密度是否随时间变化。4、求粒子在一维无限深势阱中的波函数及能级。势阱为：022||2aaxUax⎧−≤≤⎪⎪=⎨⎪∞⎪⎩解：txU与)(无关，是定态问题。其定态薛定谔方程为222d()()()()2dxUxxExxψψψμ−+=在各区域的具体形式为Ⅰ：221112d()()()()22daxxUxxExxψψψμ−−+=①Ⅱ：22222ad-()()222daxxExxψψμ≤≤−=②Ⅲ：223332d()()()()22daxxUxxExxψψψμ−+=③由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(xU，要等式成立，必须0)(1=xψ3()0xψ=第二章波函数与薛定谔方程习题解门福殿教授著《量子力学》第3页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为22222d()2()0dxExxψμψ+=令222Ekμ=，得22222d()()0dxkxxψψ+=其解为kxBkxAxcossin)(2+=ψ④根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得21()()=022aaψψ−=−⑤23()()=022aaψψ=⑥由此得sincos022kakaAB−+=sincos022kakaAB+=A和B不能同时为0，否则波函数处处为0，意味着粒子到处都不出现，无物理意义。因此得到两组解0,cos02kaA==；0,sin02kaB==由此得，22kanπ=，即nkaπ=对第一组解，n为奇数；对第二组解，n为偶数，因此体系的能量为：2222(1,2,3,)2nEnnaπμ==能量是量子化的两组波函数的空间部分：aacos,-22aa0,-,22nnBxxaxxπψ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩n为奇数aasin,-22aa0,-,22nnAxxaxxπψ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩n为偶数可以将上式合并写为：aasin(),-222aa0,-,22nnaAxxaxxπψ⎧′+≤≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩现对其归一化2222||sin()d12aanaAxxaπ−′+=∫即2Aa′=第二章波函数与薛定谔方程习题解门福殿教授著《量子力学》第4页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢由此得归一化的波函数为：2aasin(),-222aa0,-,22nnaxxaaxxπψ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩5、一粒子在一维无限深势阱0,()00xxaUxxa∞⎧=⎨≤≤⎩，，中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：txU与)(无关，是定态问题。其定态薛定谔方程为222d()()()()2dxUxxExxψψψμ−+=在各区域的具体形式为Ⅰ：221112d0()()()()2dxxUxxExxψψψμ−+=①Ⅱ：22222d0()()2dxaxExxψψμ≤≤−=②Ⅲ：223332d()()()()2dxaxUxxExxψψψμ−+=③由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(xU，要等式成立，必须0)(1=xψ3()0xψ=即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为22222d()2()0dxExxψμψ+=令222Ekμ=，得22222d()()0dxkxxψψ+=其解为kxBkxAxcossin)(2+=ψ④根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得)0()0(12ψψ=⑤)()(32aaψψ=⑥⑤0=⇒B⑥0sin=⇒kaA),3,2,1(0sin0∵==⇒=∴≠nnkakaAπ∴xanAxπψsin)(2=第二章波函数与薛定谔方程习题解门福殿教授著《量子力学》第5页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢由归一化条件2()d1xxψ∞=∫得220sind1anAxxaπ=∫由sinsind2amnbmnaxxxaaππδ=∫222()sinnAxxaaaπψ⇒=∴=222Ekμ=∵2222(1,2,3,)2nEnnaπμ⇒==可见E是量子化的。对应于nE的归一化的定态波函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=−axaxaxxeanatxtEinn,,00,sin2),(πψ6、一个量子刚体，具有转动惯量zI，自由的在,xy平面内转动，φ为转角。（1）找出其能量本征值nE和本征函数();nψφ（2）在0t=时转子由波包(0)sinAψφ=描述，求在0t时的(,);tψφ此系统的哈密顿量为22zzLHI=。解：（1）哈密顿算符22221dˆˆ22dZzzHLIIϕ==−其本征方程为(tH与ˆ无关，属定态问题)222222d()()2d2d()()dzzEIIEψϕψϕϕψϕψϕϕ−==−令222zIEm=，则222d()()0dmψϕψϕϕ+=取其解为()imAeϕψϕ=(m可正可负可为零)由波函数的单值性，应有(2)(2)()imimeeϕπϕψϕπψϕ++=⇒=第二章波函数与薛定谔方程习题解门福殿教授著《量子力学》第6页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢即12=πmie∴m=0，±1，±2，…转子的定态能量为222mzmEI=(m=0，±1，±2，…)可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。定态波函数为immAeϕψ=A为归一化常数，由归一化条件22*220011dd22mmAAAππψψϕϕππ===⇒=∫∫∴转子的归一化波函数为12immeϕψπ=综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。（2）(,0)sinAψφφ=，现将其归一化，可得1/Aπ=，现将初态按按本征函数系展开：1111(,0)sin()222iiiieeeeiiiφφφφψφφππππ−−−===−111111()()2222iieeiiφφψψππ−−=−=−因此可得其随时间的演化为：222222111111(,)()()22zzzziiiittttIIIIteeeeiiψφψψψψ−−−−−−=−=−7、设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，若粒子处于状态24()sincosxxxaaaππψ=，试求粒子能量的可能值及其相应概率。解：由第五题知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=−axaxaxxeanatxtEinn,,00,sin2),(πψ将()xψ按本征波函数展开2442()sincossin(1cos)/2xxxxxaaaaaaππππψ==+22213(sinsincos){sin[sin()sin()]}2xxxxxxaaaaaaaaππππππ=+=+−第二章波函数与薛定谔方程习题解门福殿教授著《量子力学》第7页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢1312123{sin()sin()}{sin()sin()}22xxxxaaaaaaaππππ=+=+1311{}22ψψ=+因此其能量值为：222213229,22EEaaππμμ==，取各值的概率均为211||22=8、若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n，试求：（1）距势阱的左壁14宽度内发现粒子的概率是多少？（2）n取何值时上述概率最大？（3）当n→∞时，这个概率的极限是多少？这个结果说明了什么问题？解：（1）波函数为：2()sinnnxxaaπψ=距势阱的左壁14宽度内发现粒子的概率为：2244400021cos22(0)|()|dsindd42aaannxanaWxxxxxaaaππψ−−===∫∫∫40121(sin|)(sin)42422aaanaanxanaanππππ=−=−（2）111(0)(sin)sin4422422aaannWannππππ−=−=−当3n=时，11(0)446aWπ−=+，此时概率最大。（3）当n→∞时，这个概率的极限111(sin)4224limnnnππ→∞−=与经典力学的情况相同。9、原子或分子的电子可以粗略地看成是一维无限深势阱中的粒子。设阱宽为1A，求：（1）两个最低能级的间隔；（2）电子在这两个能级间跃迁，发出的光其波长是多少？解：（1）阱宽为a的是阱中粒子的能级为：2222(1,2,3,)2nEnnaπμ==两个最低能级的间隔为：2222234222172122231-20333(6.62610)(211.80910(J)22889.11010hEEaaaππμμμ−−−××−=−===××××）=第二章波函数与薛定谔方程习题解门福殿教授著《量子力学》第8页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢（2）电子在这两个能级间跃迁，发出的光其波长满足：/hcEλ=348178/6.62610310/1.809101.09910mhcEλ−−−==××××=×10、粒子在宽度分别为1a、2a和3a的三维无限深势阱中运动，求其能级和波函数。解：其定态薛定谔方程为2222222[()(,,)](,,)(,,)2UxyzxyzExyzxyzψψμ∂∂∂−+++=∂∂∂在势阱内部，(,,=