算符与对易关系习题解

第三章算符与对易关系习题解门福殿教授著《量子力学》第1页共18页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢第二章算符与对易关系1．设dˆ,dDx=试证：22ˆˆˆ()()1DxDxDx+−=−−证明：22ˆˆˆˆˆ()()DxDxDDxxDx+−=−+−（1）其中的：ˆˆDxxD−+，让其作用在()xψ上，有d()dˆˆ()()(())xxDDxxxxxdxdxψψψ−=−d()d()()()xxxxxxdxdxψψψψ=−−=−，因此ˆˆ1xDDx−=−，代入（1）式，得所求证结果。2．如果算符αˆ、βˆ满足条件1ˆˆˆˆ=−αββα，求证：βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=−，233ˆ3ˆˆˆˆβαββα=−，1ˆˆˆˆˆ−=−nnnnβαββα证明：利用条件1ˆˆˆˆ=−αββα，以βˆ左乘之得βαββαβˆˆˆˆˆˆ2=−则有βαβββαˆˆˆˆ)1ˆˆ(2=−−昀后得βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=−。再以βˆ左乘上式得222ˆ2)ˆˆˆˆ(ˆβαββαβ=−，即232ˆ2ˆˆˆˆˆβαββαβ=−则有3332ˆˆˆˆˆˆ2αβββαβ−−=昀后得233ˆ3ˆˆβαββα=−应用数学归纳法可以证明1ˆˆˆˆˆ−=−nnnnβαββα：先设211ˆ)1(ˆˆˆ−−−−=−nnnnβαββα成立，以βˆ左乘上式得11ˆ)1(ˆˆˆˆˆ−−−=−nnnnβαββαβ则有11ˆ)1(ˆˆˆ)1ˆˆ(−−−=−−nnnnβαβββα昀后得1ˆˆˆˆˆ−=−nnnnβαββα3.求算符dˆdixFiex=−和ˆixGe=的对易关系。解：dˆˆ[,][,]dixixFGieex=−让其作用在()xψ上，有22dd[()]d()d()d()[,]()()dddddixixixixixixixixixixexxxxieexieieieiexieeiexxxxxψψψψψψ−=−+=−−+2()()ixixixieiexexψψ=−=因此有：d[,]()dixixieexxψ−2()ixexψ=2d[,]dixixixieeex−=4.下列算符中哪些是厄密算符：2222dddd,,4,ddddiixxxx。第三章算符与对易关系习题解门福殿教授著《量子力学》第2页共18页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢解：（1）-dd*d*(*)dddxxxxψφψφψφ∞∞∞∞−∞−∞=−∫∫00xψφ→±∞→→当，，ddd*d(*)d()*ddddxxxxxxψφψφψφ∞∞∞−∞−∞−∞∴=−=−∫∫∫d()*ddxxψφ∞−∞≠∫ddx∴不是厄米算符（2）-dd*d**dddixiixxxψφψφψφ∞∞∞∞−∞−∞=−∫∫dd()*d()*dddixixxxψφψφ∞∞−∞−∞=−=∫∫ddix∴是厄米算符（3）2-2ddd*d*4d4*4dddddxxxxxxφψφψφψ∞∞∞∞−∞−∞=−∫∫22d*dd*d*4d(44d)ddddxxxxxxψφψψφφ∞∞∞−∞−∞−∞=−=−−∫∫2222d*d4d(4)*dddxxxxψφψφ∞∞−∞−∞==∫∫22d4dx∴是厄米算符（4）对于22ddix，仿照（3）的步骤，可知，不是厄米算符。5.下列函数中哪些是22ddx的本征函数？（1）xe（2）2x（3）sinx(4)3cosx(5)sincosxx+解：①222d()2dxx=∴2x不是22ddx的本征函数。②22ddxxeex=∴xe是22ddx的本征函数，其对应的本征值为1。③22dd(sin)(cos)sinddxxxxx==−∴可见，sinx是22ddx的本征函数，其对应的本征值为－1。④22dd(3cos)(3sin)3cos(3cos)ddxxxxxx=−=−=−第三章算符与对易关系习题解门福殿教授著《量子力学》第3页共18页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢∴3cosx是22ddx的本征函数，其对应的本征值为－1。⑤22dd(sincos)(cossinsincosddx(sincos)xxxxxxxxx+=−=−−=−+）∴sincosxx+是22ddx的本征函数，其对应的本征值为－1。6.求算符dˆdixFiex=−的本征函数和本征值。解：ˆF的本征方程为ˆFFφφ=ixdieFdxφφ−=即()()ixixixdiFedxdFedFeφφ−−−==−=−lnlnixFecφ−=−+ixFeceφ−−=（ˆFF是的本征值）7.对一维运动，求算符ˆpx+的本征函数和本征值。解：设波函数为()xψ，本征值为λ，则有d()()()dixxxxψλψ−+=1()dxdxiψλψ=−积分得：21ln()'2xxCiψλ=−+整理得：2()2ixxCeλψ−−=8．若ϕ为Kˆ的本征函数，对应的本征值为λ，且MLKˆˆˆ=和ˆˆ[,]1LM=，证明，则ϕLuˆ=也是Kˆ的本征函数，对应的本征值为1−λ；ˆvMϕ=也是Kˆ的本征函数，对应的本征值为1+λ。[解]依题意λϕϕ=Kˆ则ϕϕϕϕϕLKLMLLLMLLKuKˆˆˆ)1ˆˆ(ˆˆˆˆˆˆˆ−=−===uLLL)1(ˆ)1(ˆˆ−=−=−=λϕλϕλϕ故u是Kˆ的本征函数，对应的本征值为1−λ，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(1)KvKMLMMMLMMMKϕϕϕϕϕ===+=+第三章算符与对易关系习题解门福殿教授著《量子力学》第4页共18页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢ˆˆˆ(1)(1)MMMvϕλϕλϕλ=+=+=+故v也是Kˆ的本征函数，对应的本征值为1+λ。9.一维线形谐振子的势能221()2Uxxμω=，处在2212()(21)2xxexααψαπ−=−的状态中，式中μωα=，问：（1）它的能量有无确定值？如果有，是多少？（2）它的动量有无确定值？解：（1）用哈密顿算符作用在波函数上：221222222d1[](21)2d22xxexxααμωαμπ−−+−（1）令2212(21)xexαφα−=−22222211122222d12[(21)]22d2xxxxexexexαααφααααφα−−−=−⋅−+⋅=−[phone]d1[2]2()2d2xxxxeexααφαφααφααα−−=−−−++⋅⋅−⋅222222111242332423222224xxxxxexexxeααααφαφαααφαφα−−−=−+−−=−+−带入（1）式得：2222112224232232211{4}()(4)2222xxxxexxeαααφαφαμωφωφαλφμμ−−−−+−+=+−−≠因此能量无确定值。另外，很显然222222111222101()(21)22222xxxxexexeααααααψααψψπππ−−−=−=⋅−=+能量可能取值为0113,22EEωω==，概率分别为：1/3,2/3（2）用动量算符作用在波函数上：2222112222d(2)()2d22xxiixeixiexααψαααφααψαππ−−−=−−+=−因此动量也无确定值。10.一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为,;()0,raUrra∞≥⎧=⎨⎩求粒子处于S态的能级和定态波函数。解：据题意，在ra≥的区域，()Ur=∞，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数0ψ=(ra≥)第三章算符与对易关系习题解门福殿教授著《量子力学》第5页共18页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢由于在ra的区域内，()0Ur=。只求角动量为零的情况，即0=，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度θϕ、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与θϕ、无关。设为()rψ，则粒子的能量的本征方程为221()2ddrErdrdrψψμ−=令222(),EUrrkμψ==，得2220dukudr+=其通解为()cossin()cossinurAkrBkrABrkrkrrrψ=+∴−=+波函数的有限性条件知，(0)ψ有限，则A=0∴()sinBrkrrψ=由波函数的连续性条件，有()0sin0Bakaaψ=⇒=∵0B≠∴(1,2,)kannπ==nkaπ=∴22222nnEaπμ=()sinBnrrraπψ=其中B为归一化，由归一化条件得2200022201()sin4sin2aaddrrdrnBrdraBaππθϕψθπππ====⋅=∫∫∫∫∴12Baπ=∴归一化的波函数sin1()2nrararπψπ=11．设氢原子处在0301),,(arear−=πϕθψ的态，0a为玻尔半径，求第三章算符与对易关系习题解门福殿教授著《量子力学》第6页共18页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢（1）r的平均值；（2）势能re2−的平均值；（3）动能的平均值；（4）昀概然半径。[解]先检验ψ是否归一化。∫∫∫∫∞∞−==−∞∞−=ϕθθπτψψπθπϕddrdreadarsin10220230*0∫∫∞−=πθθ020230sin20ddrreaardrrereadrreaararar∫∫∞−−∞−+∞==02222020230000402410202022020000=∞−=+∞−=∫∞−−−arararedrearea这表明ψ是归一化的。（1）∫∫∫∫∞∞−∞∞−==02002330*sin10πϕθθπτψψdddreradrrar0002223323220000042230rrraaaredrreredraaa−−−∞∞∞==−+∫∫0030202220234660aaadreraar===∫∞−（2）∫∫∫∫∞−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=ππϕθθπτψψ020023022*2sin)(0dddrreaedrererUardreaereaedrreaeararar∫∫∞−−∞−−∞=−=0220222020230200020240220200aeeaear−=∞=−这个结果和旧量子论中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。（3）2222ˆ21ˆ∇−==μμpT其中22222111()(sin)sinsinrrrrθθθθθϕ⎡⎤∂∂∂∂∂∇=++⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦∫∫∫∞−−∇−=ππϕθθπμ02002/2/302sin)(1200ddrdreeaTarar∫∫∫∞−−−=ππϕθθπμ02002/22/302sin)]([11200ddrdredrdrdrdreaarar第三章算符与对易关系习题解门福殿教授著《量子力学》第7页共18页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢∫∞−−−−=0/020302)2(1(240drearraaarμ20220204022)442(24aaaaμμ=−=（4）电子出现在r+dr球壳内出现的概率为22200()[(,,)]sinwrdrrrdrddππψθϕθθϕ=∫∫drreaar2/23004−=02/2304()rawrera−=02/300()42(2)radwrrredraa−=−令1230()00,,dwrrrradr=⇒==∞=，当120,()0rrwr==∞=时，为几率昀小位置022/2232000()484(2)radwrrredraaa−=−+022230()80radwredra−==−∴0ar=是昀概然（可几）半径。12．一维运动的粒子处在⎩⎨⎧≤≥=−0,00,)(xxAxexx当当λψ，)0(λ求(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子的平均动量。解：(1)先求归一化常数，由222201()xxdxAxedxλψ∞∞−−∞==∫∫2314Aλ=∴3/22Aλ=在上面的计算中利用了积分公式10)2(!+∞−=∫nxnndxexλλ3/22()2xxxeλψλ−=(0)x≥()0xψ=(0)x1/23/2()11()()()222ikxikxcpexdxxedxλψλπ