第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第1页共17页题解仅供参考,如有问题请联系zhyjiao@126.com,谢谢第六章全同粒子体系习题解1.求在自旋态)(21zS中,xSˆ和ySˆ的不确定关系:?)()(22yxSS解:在zSˆ表象中)(21zS、xSˆ、ySˆ的矩阵表示分别为01)(21zS01ˆ102xS002ˆiiSy∴在)(21zS态中00101102)01(2121xxSS4010110201102)01(ˆ2222121xxSS4)(2222xxxSSS001002)01(ˆ2121iiSSyy401002002)01(ˆ2222121iiiiSSyy4)(2222yyySSS16)()(422yxSS讨论:由xSˆ、ySˆ的对易关系[xSˆ,ySˆ]zSiˆ要求4)()(2222zyxSSS16)()(422yxSS①在)(21zS态中,2zS∴16)()(422yxSS第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第2页共17页题解仅供参考,如有问题请联系zhyjiao@126.com,谢谢可见①式符合上式的要求。2.求002ˆ01102ˆiiSSyx及的本征值和所属的本征函数。解:xSˆ的久期方程为02220)2(22∴xSˆ的本征值为2。设对应于本征值2的本征函数为112/1ba由本征方程2/12/12ˆxS,得1111201102baba111111abbaab由归一化条件12/12/1,得1),(11*1*1aaaa即1221a∴212111ba对应于本征值2的本征函数为11212/1设对应于本征值2的本征函数为222/1ba由本征方程222/12/12ˆbaSx222222abbaab由归一化条件,得1),(22*2*2aaaa即1222a∴212122ba对应于本征值2的本征函数为11212/1第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第3页共17页题解仅供参考,如有问题请联系zhyjiao@126.com,谢谢同理可求得ySˆ的本征值为2。其相应的本征函数分别为i12121i121213.求自旋角动量)cos,cos,(cos方向的投影cosˆcosˆcosˆˆzyxnSSSS本征值和所属的本征函数。在这些本征态中,测量zSˆ有哪些可能值?这些可能值各以多大的几率出现?zSˆ的平均值是多少?解:在zSˆ表象,nSˆ的矩阵元为cos10012cos002cos01102ˆiiSncoscoscoscoscoscos2iiSn其相应的久期方程为0cos2)cos(cos2)cos(cos2cos2ii即0)cos(cos4cos42222220422)1coscoscos(222利用2所以nSˆ的本征值为2。设对应于2nS的本征函数的矩阵表示为baSn)(21,则第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第4页共17页题解仅供参考,如有问题请联系zhyjiao@126.com,谢谢babaii2coscoscoscoscoscos2bbiacos)cos(coscos1coscosib由归一化条件,得22**),(12121bababa1cos1coscos222aia1cos122a)cos1(2coscos1cos1)(21iSn)cos1(2coscos1cos1)(21iSn2121)cos1(2coscos2cos110)cos1(2coscos012cos1)(21iiSn2121)cos1(2coscos2cos110)cos1(2coscos012cos1)(21iiSn可见,zSˆ的可能值为22第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第5页共17页题解仅供参考,如有问题请联系zhyjiao@126.com,谢谢相应的几率为2cos12cos1)cos1(2coscos22cos22cos122cos12zS同理可求得对应于2nS的本征函数为)cos1(2coscos2cos1)(21iSn在此态中,zSˆ的可能值为22相应的几率为2cos12cos1cos2zS讨论:算符zSˆ的本征值为2,而z方向为空间的任意方向。现在把z方向特别选为沿n方向(这相当于作一个坐标旋转),则nSˆ的本征值也应为2。另外我们知道,本征值和表象的先取无关。这样选择nz//并不影响结果的普遍性。同理yxSSˆˆ和的本征值也都是2。我们也可以在nSˆ为对角矩阵的表象中(nS表象)求本征矢。显然这时nSˆ的知阵为2002所以本征矢为1001及注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。现在是在nSˆ表象,而上面算出的zS是在2表象,算出的结果应用所不同,这是合理的。4.在z表象中,求n的本征态,)cos,sinsin,cos(sinn是),(第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第6页共17页题解仅供参考,如有问题请联系zhyjiao@126.com,谢谢方向的单位矢。(解)方法类似前题,设n算符的本征矢是:21ccx(1)它的本征值是。又将题给的算符展开:zyxnˆcosˆsinsinˆcossin(2)写出本征方程式:2121ˆcosˆsinsinˆcossincccczyx(3)根据问题(6)的结论,xˆ,yˆ对2ˆˆz的共同本征矢,,运算法则是xˆ,xˆ,iyˆ,iyˆ,zˆ,zˆ(4)将这些代入(3),集项后,对此两边,的系数:2211cos)sinsincos(sin)sinsincos(sincosccicic(5)或0)(cossin0sin)(cos2121ccececii(6)(6)具有非平凡解(平凡解01c,02c)条件是久期方程式为零,即0cossinsincosiiee它的解12(7)1时,代入(6)得:122cetgci(8)(1)的归一化条件是:12221cc将(8)代入(9),得:2cos)(1iec2sin2iec归一化本征函数是:2sin2cos1iiee(10)1时,21,cc的关系是:第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第7页共17页题解仅供参考,如有问题请联系zhyjiao@126.com,谢谢122cectgci归一化本征函数是:2cos2sin2iiee(11)是任意的相位因子。本题用矩阵方程式求解:运用矩阵算符:0110ˆx,00ˆiiy,1001ˆz(12)cossinsincosiieen(13)本征方程式是:2222cossinsincoscccceeii(14)n的本征矢是:iiee2sin2cos1)(,iiee2cos2sin2)((15)补白:本征矢包含一个不定的相位因式ie,由于可以取任意值,因此21,的形式是多式多样的,但(15)这种表示法是有普遍意义的。5.若ˆˆˆ,,xyz为泡利矩阵,证明:izyxˆˆˆ,并求:(1)在z表象中zyx,,的归一化本征函数;(2)在x表象中,yz的归一化本征函数;证:由对易关系zxyyxiˆ2ˆˆˆˆ及反对易关系0ˆˆˆˆxyyx,得zyxiˆˆˆ上式两边乘zˆ,得2ˆˆˆˆzzyxi∵1ˆ2z∴izyxˆˆˆ(1)在z表象中,z的矩阵是1001z因此z的本征值是1,而本征矢为01,10都已归一化。第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第8页共17页题解仅供参考,如有问题请联系zhyjiao@126.com,谢谢在z表象中0110x;设其本征值为,本征矢为2121210110,aaaaaa则容易求得1相应的归一化本征函数为11211121和同理,在z表象中,00iiy,设其本征值为,本征矢为21bb,则212100bbbbii可求得:1相应归一化本征函数为ii121121和(2)求在x表象中。算符xˆ,zyˆˆ和的矩阵形式:在zˆ表象中,算符xˆ,zyˆˆ和的矩阵形式为00;0110;1001iiyyz对坐标轴作一旋转,把原来的z轴换成x轴,x轴换成y轴,y轴换成z轴。根据轮换关系,容易得出在x表象中,算符xˆ,zyˆˆ和的矩阵形式为:00;0110;1001iizyx在x表象中yˆ的本征值和本征矢:设本征值是21,aa本征矢是,则212121210110,aaaaaaaay即就有0021212112aaaaaaaaaa和1具有非零解的条件是1011当1时:111112aaa归一化后得:21,12,111