线性代数与解析几何—曲面及其方程分解

§6.3曲面及其方程1、球面及其方程2、柱面及其方程3、旋转面及其方程4、锥面及其方程5、空间曲线及其方程2220xyzAxByCzD2222.xyzrz求球面的球心及半径例解2222().xyzrr1.球面及其方程000(,,),xyzrP以为心为半径的球面的方程2222000()()()xxyyzzr:球面的一般方程为P(x0,y0,z0)rP(x,y,z)观察柱面的形成过程:定义在空间中，由平行于定直线并沿定曲线移动的一族直线所形成的曲面称为柱面。这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.母线准线2、柱面及其方程且有从(2)(3)中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0这就是以(1)为准线，母线的方向数为X,Y,Z的柱面的方程.如果M1(x1,y1,z1)为准线上一点，则过点M1的母线方程为设柱面的准线为准线MM1母线的方向数为X,Y,Z.试建立这柱面的方程.12(,,)0,(1)(,,)0.FxyzFxyz111(2)xxyyzzXYZ11112111(,,)0,(,,)0,(3)FxyzFxyz例1柱面的准线方程为而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程.解：设M1(x1，y1，z1)是准线上的一点，那么过M1(x1,y1,z1)的母线为且2222221222xyzxyz1114101xxyyzz2221112221111,5222,6xyzxyz所以令(4)=t,得将(7)代(5)、(6)得由(8)、(9)得111,,7xxtyyzzt2222221,8222,9xtyztxtyzt20.zt222210.xyzxz母线平行于坐标轴的柱面方程.1方程F(x,y)=0表示:2方程F(x,z)=0表示:3方程F(y,z)=0表示:母线平行于z轴的柱面,准线为xoy面上的曲线C:F(x,y)=0.母线平行于y轴的柱面,准线为xoz面上的曲线C:F(x,z)=0.母线平行于x轴的柱面,准线为yoz面上的曲线C:F(y,z)=0.12222byaxzxyo椭圆柱面yxz22221xyabo双曲柱面pxy22zxyo抛物柱面3.旋转面及其方程lC.Sl定义在空间，一条曲线C绕着定直线l旋转一周所生成的曲面S称为旋转面（或回转曲面）C称为旋转面的母线，l称为旋转面的旋转轴.3.旋转面及其方程C生活中见过旋转曲面吗？纬圆Ⅱ以旋转轴l为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线.说明：ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴l的平面与旋转面的交线S旋转曲面的有关概念Ⅰ母线上任意一点绕旋转轴l旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线。ⅱ任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。经线和母线一样吗？lM经线满足什么条件母线就是经线？旋转曲面也可看作经线绕轴旋转生成C旋转曲面的方程（直角坐标系）设旋转曲面的母线1旋转曲面的一般方程旋转轴为直线分析：lM1S旋转曲面又可看作以轴l为连心线的一族纬圆生成的曲面当M1遍历整个母线Γ时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面.12,,0,:1,,0,FxyzFxyz000:,2xxyyzzlXYZ111111,,MxyzMSM母线纬圆,,0Fxyz平面球面＝注：ⅰ写出这母线上任意一点的纬圆方程，ⅱ写出参数的约束条件，ⅲ消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）。lM1S22220001022101111121111101,,0,,00FxyzFxXxxYyyZzzxxyyzzxxyzyzyz纬圆：母线：,,0Fxyz1111,,Mxyz111,,xyz例求直线绕直线旋转所得的旋转曲面的方程。母线不是经线注：为方便，今后将取旋转曲面的某一条经线作为它的母线.单叶旋转双曲面1210xyz：:lxyz解（两直线为异面直线），设M1(x1,y1,z1)是母线L1上的任意点，因为旋转轴L2通过原点，所以过M1的纬圆方程是：又由于M1在母线上，所以又有：即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0.111222222111()()()0xxyyzzxyzxyz1111210xyz母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：已知yoz面上一条曲线C,方程为F(y,z)=0,x=0,曲线C绕z轴旋转一周就得一个旋转曲面.设M1(0,y1`,z1)是C上任意一点,则有F(y1,z1)=0当C绕z轴旋转而M1随之转到M(x,y,z)时,有且F(y1,z1)=0.xozy),,0(111zyMMd:001xyzz1221||zzxyy即为yoz坐标面上的已知曲线F(y,z)=0,x=0绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.同理：yoz坐标面上的已知曲线F(y,z)=0,x=0绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为得旋转曲面的方程:思考题：xoy面上的一条曲线C，F(x,y)=0,z=0分别绕x轴及y轴旋转得旋转曲面的方程各为什么？22(,)0.Fxyz22,0.Fyxz规律：当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。xy解:应该先建立母线的方程yoz面上直线方程为),,0(111zyM),,(zyxM圆锥面方程oz例：直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．(0)2cotzy22cotzxy2222cotzxy绕x轴旋转绕y轴旋转旋转椭球面zxyzxy例2：将椭圆分别绕长轴（即x轴）与短轴（即y轴）旋转，求所得旋转曲面的方程。22221(),:0.xyababz222221xyzab2222221xyzaba绕z轴旋转的旋转曲面的方程为xyozxoz叫做旋转单叶双曲面y例3:(1)将双曲线22221,:0,yzbcx222221,xyzacaxzoz.xy（2）将曲线叫做旋转双叶双曲面zoyox绕实轴（即y轴）旋转一周生成的旋转曲面的方程为22221,:0yzbcx222221yxzbc旋转抛物面xyzox例4：将抛物线绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为yzo22(0),:0.ypzpx222,(0)xypzp例5、将圆绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：所求旋转曲面的方程为：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)该曲面称为圆环面.222()(0):,0ybzabax22222()xybzazyoab绕z轴旋转所成曲面将圆222()(0):,0ybzabaxxzyo.x.生活中见过这个曲面吗？zyo..救生圈.准线母线顶点x0zy锥面及其方程定义在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。母线A锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的准线.设锥面的准线为设点M1(x1,y1,z1)为锥面准线上任一点，则锥面过点M1的母线为：顶点为A(x0,y0,z0)，试建立锥面的方程.且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0消去参数x1,y1,z1得三元方程F(x,y,z)=0准线母线母线x0zyMM1A12(,,)0(,,)0FxyzFxyz000101010xxyyzzxxyyzz例1、求顶点在原点，准线为的锥面的方程。答：2222220xyzabc（二次锥面）222222222222-0,-0.xzyyzxacbbca同理分别表示锥面。22221xyabzc解：设M(x,y,z)为任一母线上的点，那么过M点的母线的方向向量为轴线的方向向量为根据题意有Mn得例2：已知圆锥面的顶点A(1,2,3),轴垂直于平面母线与轴组成300角,试求这圆锥面的方程.A:2210,xyz-1,-2,-3,AMvxyz2,2,1n0cos30,vnvn222222212233,2123221xyzxyz空间曲线及其方程设空间曲线L的一般方程消去一个变量后得方程任取其中的两个联立，如它也表示同一条曲线L.(,,)0,(,,)0.FxyzGxyz123,0,,0,,0,FxyFxzFyz12,0,,0,FxyFxz以曲线L为准线,母线平行于z轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线L关于xOy面的投影柱面,投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线,或简称投影.所以方程组所表示的曲线叫做空间曲线L在xOy面上的投影.注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.1,0,0Fxyz3,0,0Fyzx2,0,0FxzyLyzx0例如从22244223812xzyz,xz-yz分别消去y及z，得2224,40xzzxyC0),,(zyxF0),,(zyxG由空间曲线C的方程消去z后得到0),,(0),,(zyxGzyxF(,)0Hxy(母线平行z轴的柱面).00),(:zyxHC例xOzy平面的投影曲线为坐标在空间曲线xOyC解;4322yx在xOy面上的投影为04322zyx例求曲线212221zzyx在xOy面上的投影.得消去由方程121222zzzyx例设一个立体由上半球面和锥面所围成,求它在xoy面上的投影.解:半球面与锥面的交线为由方程消去z,得x2+y2=1yxzOx2+y21这是一个母线平行于z轴的圆柱面.于是交线C在xoy面上的投影曲线为这是xoy面上的一个圆.所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y21224zxy223()zxy22224:3()zxyCzxy2210xyz()()()()xxtyyttzzt空间曲线C的参数方程例221:.6xyCxyz将曲线化为参数方程],2,0[,sin,costtytx设.sincos6ttz则曲线C的参数方程为cossin(02).6cossinxtyttztt剟空间曲线的参数方程cossin()xatyattzt例圆柱螺线xyzO§6.4二次曲面1、椭球面2、二次曲面3、单叶双曲面4、双叶双曲面5、椭圆抛物面6、双曲抛物面7、二次方程的化简二次曲面的定义：三元二次方程讨论二次曲面性状的平面截痕法：1、对称性，2、曲面的范围，3、主截线，即用坐标面截曲面的截线，4、平行截线，即和平行于坐标面的平面与曲面相截的截线，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．所表示的曲面称之为二次