历年平面向量高考试题汇集

高考数学选择题分类汇编1．【2011课标文数广东卷】已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B.12C．1D．22．【2011·课标理数广东卷】若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．03．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A．0B.BE→C.AD→D.CF→4．【2011大纲文数全国卷】设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|＝()A.2B.3C.5D.7.5．【2011课标文数湖北卷】若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－π4B.π6C.π4D.3π46．【2011课标理数辽宁卷】若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.2－1B．1C.2D．2【解析】|a＋b－c|＝a＋b－c2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，由于a·b＝0，所以上式＝3－2c·a＋b，又由于(a－c)·(b－c)≤0，得(a＋b)·c≥c2＝1，所以|a＋b－c|＝3－2c·a＋b≤1，故选B.7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．128．【2011大纲理数1全国卷】设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于()A．2B.3C.2D．19．【2011课标理数北京卷】已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________.10．【2011·课标文数湖南卷】设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．【解析】因为a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a＋λb)∥c，(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝12.【解析】因为a∥b且a⊥c，所以b⊥c，所以c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.【解析】BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→－BC→＝BF→－BC→＝CF→，所以选D.【解析】||a＋2b2＝(a＋2b)2＝||a2＋4a·b＋4||b2＝3，则||a＋2b＝3，故选B【解析】因为2a＋b＝()2，4＋()1，－1＝()3，3，a－b＝()0，3，所以||2a＋b＝32，||a－b＝3.设2a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝()2a＋b·()a－b||2a＋b||a－b＝()3，3·()0，332×3＝22，又θ∈[]0，π，所以θ＝π4.【解析】a·(2a－b)＝2a2－a·b＝0，即10－(k－2)＝0，所以k＝12，故选D.【解析】设向量a，b，c的起点为O，终点分别为A，B，C，由已知条件得，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，则点C在△AOB的外接圆上，当OC经过圆心时，|c|最大，在△AOB中，求得AB＝3，由正弦定理得△AOB外接圆的直径是3sin120°＝2，||c的最大值是2，故选A.【解析】因为a－2b＝(3，3)，由a－2b与c共线，有k3＝33，可得k＝1.【解析】因为a与b的方向相反，根据共线向量定义有：a＝λb(λ0)，所以a＝(2λ，λ)．由||a＝25，得2λ2＋λ2＝25⇒λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a＝(－4，－2)．11．【2011·课标理数天津卷】已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________．12．【2011·课标理数浙江卷】若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．13．【2011·新课标理数安徽卷】已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．14．【2011·课标文数福建卷】若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b等于________．15．【2011·课标理数湖南卷】在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝________.16．【2011课标理数江西卷】已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．17．【2011·课标文数江西卷】已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.18．【2011课标文数全国卷】已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.19．【10安徽文数】设向量(1,0)a,11(,)22b,则下列结论中正确的是(A)ab(B)22ab(C)//ab(D)ab与b垂直20.【10重庆文数】若向量(3,)am，(2,1)b，0ab，则实数m的值为（A）32（B）32（C）2（D）6【解析】建立如图1－6所示的坐标系，设DC＝h，则A(2,0)，B(1，h)．设P(0，y)，(0≤y≤h)则PA→＝(2，－y)，PB→＝(1，h－y)，∴||PA→＋3PB→＝25＋3h－4y2≥25＝5.【解析】由题意得：||α||βsinθ＝12，∵||α＝1，||β≤1，∴sinθ＝12||β≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈π6，5π6.【解析】设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12.因为0≤θ≤π，故θ＝π3.【解析】由已知a＝(1,1)，b＝(－1,2)，得a·b＝1×(－1)＋1×2＝1.【解析】由题知，D为BC中点，E为CE三等分点，以BC所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得A0，32，D(0,0)，B－12，0，E13，36，故AD→＝0，－32，BE→＝56，36，所以AD→·BE→＝－32×36＝－14.【解析】设a与b的夹角为θ，由(a＋2b)(a－b)＝－2得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，解得cosθ＝12，∴θ＝π3.【解析】|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝12，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22＝3－2×12－8＝－6.【解析】由题意，得(a＋b)·(ka－b)＝k||a2－a·b＋ka·b－||b2＝k＋(k－1)a·b－1＝(k－1)(1＋a·b)＝0，a与b不共线，所以a·b≠－1，所以k－1＝0，解得k＝1.【解析】11(,)22ab=，()0abb，所以ab与b垂直.【解析】D21.【10重庆理数】已知向量a，b满足0,1,2,abab，则2abA.0B.22C.4D.8解析：2ab22844)2(222bbaaba22．【10湖南文数】若非零向量a，b满足||||,(2)0ababb，则a与b的夹角为CA.300B.600C.1200D.150023.【10全国卷理数】ABCV中，点D在AB上，CD平方ACB．若CBauur，CAbuur，1a，2b，则CDuuur（A）1233ab（B）2133ab（C）3455ab（D）4355ab【解析】因为CD平分ACB，由角平分线定理得ADCA2=DBCB1，所以D为AB的三等分点，且22ADAB(CBCA)33，所以2121CDCA+ADCBCAab3333，选B.24.【10辽宁文数】平面上,,OAB三点不共线，设,OAaOBb,则OAB的面积等于（A）222()abab（B）222()abab（C）2221()2abab（D）2221()2abab2222111()||||sin,||||1cos,||||1222||||OABabSabababababab2221()2abab25.【10全国卷】△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CB=a,CA=b,a=1，b=2,则CD=（A）13a+23b（B）23a+13b（C）35a+45b（D）45a+35b∵CD为角平分线，∴12BDBCADAC，∵ABCBCAab，∴222333ADABab，∴22213333CDCAADbabab26.【10山东理数】定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=(m,n)，bp,q)（，令ab=mq-np，下面说法错误的是（）A.若a与b共线，则ab=0B.ab=baC.对任意的R，有a)b=(（ab)D.2222(ab)+(ab)=|a||b|【解析】若a与b共线，则有ab=mq-np=0，故A正确；因为bapn-qm，而ab=mq-np，所以有abba，故选项B错误，故选B。27.【10四川理数】设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216,BCABACABAC则AM（A）8（B）4（C）2（D）1w_ww.k#s5_u.co*m解析：由2BC＝16，得|BC|＝4ABACABACBC＝4而ABACAM故AM228.【10天津文数】如图，在ΔABC中，ADAB，3BCBD，1AD，则ACAD=（A）23（B）32（C）33（D）3||||cos||cos||sinACADACADDACACDACACBAC∠∠∠sinB3BC29.【10广东文数）w若向量a=（1,1），b=（2,5），c=(3,x)满足条件(8a－b)·c=30，则x=CA．6B．5C．4D．330.【10四川文数】设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216BC，ABACABAC，则AM（A）8（B）4（C）2（D）1解析：由2BC＝16，得|BC|＝4w_ww.k#s5_u.co*mABACABACBC＝4而ABACAM故AM2计算题1．【09广东卷文】已知向量)2,(sina与)cos,1(b互相垂直，其中)2,0(（1）求sin和cos的值（2）若cos53)cos(5，02,求cos的值解（１）abvvQ,sin2cos0abvvg,即sin2cos又∵2sincos1,∴224coscos1,即21cos5,∴24sin5又25(0,)sin25,5cos5(2)∵5cos()5(coscossinsin)5cos25sin35coscossin,222cossin1cos,即21cos2又02,∴2cos22.【09江苏卷】设向量(4cos,sin),(sin,4cos),(cos,4sin)abc（1）若a与2bc垂直，求tan()的值；（2）求||bc的最大值;（3）若tantan16，求证：a∥b.解析本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。3.【09湖南卷文】已知向量(sin,cos2sin),(1,2).ab（1）若//ab，求tan的值；（2）若||||,0,ab求的值。解（1