高等数学微分方程总结

求解流程图一阶齐次可分离变量一阶线性nyxQyxPyBernoulli)()()(0)()(xydUdyxyQdxxyP全微分方程xQyP齐次0)(yxpy非齐次)()(xQyxpy）（或令uyxuxyxyyxfy)(),(dxxhdyyg)()(变易先求齐次通解，再常数])([)()(CdxexQeydxxPdxxP或公式nyzn1)1,0(令1.折线积分2.凑全微分3.定积分转为z的一阶线性关于u一阶二阶线性方程0)()()(210yxayxayxa)()()(21xfyxayxay二阶变系数二阶一阶)(),(xpyyxfy令)]([),(xypyyyfy令二阶常系数齐次0qyypy非齐次)(xfqyypy解的结构02qprry特征方程：代数解法，*2211yycycyxrxrececyrr212121.1)(.221211xcceyrrxr)sincos(.3212,1xcxceyirx高阶次连续积分nxfyn)()(方程Eulertnnnnnnexxfyyyxyx令)(ppp1)1(11)(高阶常系数线性微分方程01)1(1)(ypypypynnnn0111nnnnprprpr代数特征方程P338P3481.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程;01)1(32xyeyy提示:(1),33xyxyeee因故为分离变量方程:通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy3311、一阶标准类型方程两边同除以x即为齐次方程,yyxyx22)2(时，0x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令y=ux,化为分离变量方程.221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解.化为32232336)4(yyxyxxy方法1这是一个齐次方程.方法2化为微分形式0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程.xyu令xQyxyP6)lnln()1(yxyyyx提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxulnddxyyxxxy2ln21dd3(伯努利方程)2yz令(分离变量方程)原方程化为二、非标准类型：令y=utyyxxyxy22363)3(22)1(2)1(3dd22xyyxxy(齐次方程)ytytty23dd22令t=x–1,则tyxttyxydddddddd可分离变量方程求解化方程为0d)31(d)3()4(22yyxxyxy变方程为yxxydd2两边乘积分因子2y0)dd(3dd2yxxyyyxx用凑微分法得通解:Cyxyx321120)dd(32yxxyy设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:,0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2)求出F(x)的表达式.解:(1))()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)]()([2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxf(2)由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee221.可降阶微分方程的解法—降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(逐次积分求解)(xfqyypy,0qyypy•常系数情形齐次非齐次代数法二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程(2)求出特征方程的两个根;02qprr(3)根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解；与21rr21rr，特征方程的两个根微分方程的通解21rr，两个不相等的实根21rr两个相等的实根ir2,1一对共轭复根xrxreCeCy2121xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx求解二阶常系数线性方程*2211*yycycyYy)(xfqyypy通解齐次通解非齐特解难点：如何求特解？方法：待定系数法.是重根是单根不是根2,10k.i1,i0是单根不是根k)(xfqyypy可以是复数）(),()()1(xPexfmx);(*xQexymxk],sin)(cos)([)()2(xxPxxPexfnlx];sin)(cos)([)2()1(*xxRxxRexymmxk(3).上述结论也可推广到高阶方程的情形.P353题2求以为通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P353题3求下列微分方程的通解,01)6(2yyy.2sin52)7(xyyy提示:(6)令则方程变为,01dd2pyppyxyyy2sin52)7(齐次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齐次方程特解为代入方程可得174171,BA思考若(7)中非齐次项改为提示:xBxAy2sin2cos*故D原方程通解为)2sin2cos(21xCxCeyx特解设法有何变化?02yay,00xy10xy提示:令则方程变为积分得,11Cxap利用100xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00xy定常数.2C思考若问题改为求解,00xy则求解过程中得问开方时正负号如何确定?思考:设,0)0(,d)()(0xxuuxxex提示:对积分换元,,uxt令则有解初值问题:答案: