任意角的概念--公开课

第5章三角函数5.1角的概念的推广复习与回顾1.在初中学习的角的定义是什么？角的范围呢？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。0º至360º2.你以前学过哪些角？我们学过的角0909018090锐角直角钝角思考1：时钟慢了5分钟，应如何校准？分针转过了多少度？时钟快了1.25小时（1小时15分钟），应如何校准？分针转过了多少度？转体三周你知道她旋转了多少度？生活中有很多实例如：如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1080°”、“转体1260°”这样的解说；再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手等等按照不同方向旋转所成的角。这些例子不仅角范围不在0º～360º，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角。1.任意角任意角的定义：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点。小写希腊字母表示角：α、β、γ。。。OABα始边终边顶点2.角的分类为了区别旋转方向：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°如果一条射线没有做任何旋转，称它形成了一个零角。2100-15006600说明：零角的终边与始边重合用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了角有正负之分如：=210,=-150,=660。角可以任意大体操动作：旋转2周（360×2=720）、3周（360×3=1080）还有零角一条射线，没有旋转。注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样。用旋转来描述角，需要注意三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转量旋转中心：作为角的顶点；旋转方向：分为逆时针和顺时针两种；旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º，于是就会出现720º，-540º等角度。3．象限角为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴，那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，这样的角叫做界限角。xyo始边终边终边终边终边终边40、-330第一象限角310、-60第四象限角230、-120第三象限角135、-240第二象限角等0、90、180、-90界限角想一想1.指出它们是第几象限角：420°、850°、-510°、-75°一二三四2.锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？锐角是第一象限角30°、390°、-330°xyo3003900-3300390°=30°+360°=30°+1x360°-330°=30°+(-1)x360°=30°─1x360°750°=30°+2x360°;-690°=30°+(-2)x360°;1110°=30°+3x3600;-1050°=30°+(-3)x3600;......与30°终边相同的角的一般形式为：30°＋k·360°，（k∈Z）30°390°-330°4.终边相同的角一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可表示为，S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍。例题分析：【例1】在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角。（1）640°（2）-950°（3）-1180°解：（1）因为640°=280°+360°，所以640°的角与280°的角的终边相同，280°是第四象限角，所以640°是第四象限角。（2）因为-950°=130°+（-3）×360°，所以-950°的角与130°的角的终边相同，130°是第二象限角，所以-950°是第二象限角。（3）因为-1180°=260°+（-4）×360°，所以-1180°的角与260°的角的终边相同，260°是第三象限角，所以-1180°是第三象限角。【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在-360º～720º间的角写出来：(1)60º；(2)-21º解：(1)S={β|β=k·360º+60º,k∈Z}，S中在-360º～720º间的角是-1×360º+60º=-280º；0×360º+60º=60º；1×360º+60º=420º。(2)S={β|β=k·360º－21º,k∈Z}，S中在-360º～720º间的角是0×360º－21º=-21º；1×360º－21º=339º；2×360º－21º=699º。0°～360°的角任意角小结：象限角终边相同的角正角负角360,oSkkZ作业：P99练习：1、2