双曲线及其标准方程习题

[学业水平训练]1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线解析：选D.依题意|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条射线．2．若方程x210－k＋y25－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．(5,10)B．(－∞，5)C．(10，＋∞)D．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：选A.由题意得(10－k)(5－k)0，解得5k10.3．以椭圆x23＋y24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是()A.x23－y2＝1B．y2－x23＝1C.x23－y24＝1D.y23－x24＝1解析：选B.椭圆x23＋y24＝1的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，长轴的端点A1(0,2)，A2(0，－2)，所以对于所求双曲线a＝1，c＝2，b2＝3，焦点在y轴上，双曲线的方程为y2－x23＝1.4．在方程mx2－my2＝n中，若mn＜0，则方程表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线解析：选D.将方程化为y2－nm－x2－nm＝1.5．若点M在双曲线x216－y24＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于()A．2B．4C．8D．12解析：选B.双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8，由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4.6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.解析：由点F(0,5)可知该双曲线y2m－x29＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.答案：167．已知双曲线的焦点分别为(0，－2)、(0,2)，且经过点P(－3，2)，则双曲线的标准方程是________．解析：由题知c＝2，又点P到(0，－2)和(0,2)的距离之差的绝对值为2a，2a＝|－3－02＋[2－－2]2－－3－02＋2－22|＝2，∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝3.又焦点在y轴上，∴双曲线的方程为y2－x23＝1.答案：y2－x23＝18．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：49．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－42)和(94，5)．(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解：(1)由已知，可设所求双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，则32a2－9b2＝1，25a2－8116b2＝1，解得a2＝16，b2＝9，所以双曲线的方程为y216－x29＝1.(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．由题意知c＝25.因为双曲线过点(32，2)，所以322a2－4b2＝1.又因为a2＋b2＝(25)2，所以a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.10．焦点在x轴上的双曲线过点P(42，－3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．解：因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)．因为双曲线过点P(42，－3)，所以32a2－9b2＝1.①又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，所以QF1→·QF2→＝0，即－c2＋25＝0.解得c2＝25.②又c2＝a2＋b2，③所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x216－y29＝1.[高考水平训练]1．已知双曲线x26－y23＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为()A.365B.566C.65D.56解析：选C.不妨设点F1(－3,0)，容易计算得出|MF1|＝36＝62，|MF2|－|MF1|＝26.解得|MF2|＝526.而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中，由12|MF1|·|F1F2|＝12|MF2|·d，求得F1到直线F2M的距离d为65.2．已知双曲线的两个焦点F1(－5，0)，F2(5，0)，P是双曲线上一点，且PF1→·PF2→＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．由PF1→·PF2→＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a.两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，所以双曲线方程为x24－y2＝1.答案：x24－y2＝13．设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求C的圆心轨迹L的方程．解：设两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4的圆心分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，两圆相离，由题意得||CF1|－|CF2||＝4＜25＝|F1F2|，从而得动圆的圆心C的轨迹是双曲线，且a＝2，c＝5，所以b＝52－22＝1，所求轨迹L的方程为x24－y2＝1.4．如图，若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．解：双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.