2017-2018年上学年第三讲：椭圆经典题型归纳

学生版page12017-2018年上学年第三讲：椭圆题型一.定义及其应用例1.已知一个动圆与圆22:(4)100Cxy相内切，且过点(4,0)A，求这个动圆圆心M的轨迹方程例2.方程223(1)(1)22xyxy所表示的曲线是例3.在ABC中，A,B,C所对的三边分别为a,b,c，且0,1,0,1CB，求满足bac,且b,a,c成等差数列时顶点A的轨迹；练习：1.方程2222(3)(3)6xyxy对应的图形是（）A.直线B.线段C.椭圆D.圆2.方程2222(3)(3)10xyxy对应的图形是（）A.直线B.线段C.椭圆D.圆3.如果方程2222()()1xymxymm表示椭圆，则m的取值范围是命题趋势考纲1．求解与椭圆定义有关的问题2．利用椭圆的定义求轨迹方程3．求椭圆的标准方程及焦点位置4．求与椭圆范围对称性离心率有关的问题5.求解椭圆的焦点三角形有关的问题直击高考学习内容学生版page24.过椭圆22941xy的一个焦点1F的直线与椭圆相交于,AB两点，则,AB两点与椭圆的另一个焦点2F构成的2ABF的周长等于；5.设圆22(1)25xy的圆心为C，(1,0)A是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为；6.已知P为椭圆2212516xy上的一点，,MN分别为圆22(3)1xy和圆22(3)4xy上的点，则PMPN的最小值为;题型二.椭圆的方程（一）由方程研究曲线例1.方程2211625xy的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P，求椭圆的方程；例3.已知椭圆06322mymx的一个焦点为（0，2）求m的值．例4.已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程．例5.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．学生版page3（三）用待定系数法求方程例6.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P、2(3,2)P，求椭圆的方程；例7.求经过点(2,3)且与椭圆229436xy有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆22221xyab共焦点的椭圆可设其方程为222221()xykbakbk；（四）定义法求轨迹方程；例8.ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．例9.已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．（五）相关点法求轨迹方程；例10.已知x轴上一定点(1,0)A，Q为椭圆2214xy上任一点，求AQ的中点M的轨迹方程；例11.已知椭圆1222yx，（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程．学生版page4（六）直接法求轨迹方程；例12.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224xy交于,AB两点，点P是直线l上满足1PAPB的点，求点P的轨迹方程；题型三.焦点三角形问题例1.已知椭圆2211625xy上一点P的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F、1F，求1PF、2PF及12cosFPF；例2.已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF．求：21PFF的面积（用a、b、表示）．题型四.椭圆的几何性质例1.已知P是椭圆22221xyab上的点，的纵坐标为53，1F、2F分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则12PFPF的最大值与最小值之差为例2.椭圆22221xyab(0)ab的四个顶点为,,,ABCD，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；例3.若椭圆22114xyk的离心率为12，则k；学生版page5例4.若P为椭圆22221(0)xyabab上一点，1F、2F为其两个焦点，且01215PFF，02175PFF，则椭圆的离心率为；例5.椭圆22221xyab(0)ab的左焦点为1(,0)Fc，(,0)Aa，(0,)Bb是两个顶点，如果1F到直线AB的距离为7b，则椭圆的离心率e；例6.若P为椭圆22221(0)xyabab上一点，1F、2F为其两个焦点，且12PFF，212PFF，则椭圆的离心率为；例7.1F、2F为椭圆的两个焦点，过2F的直线交椭圆于,PQ两点，1PFPQ，且1PFPQ，则椭圆的离心率为；题型五.求简单范围例1.方程22221(1)xymm表示准线平行于x轴的椭圆，求实数m的取值范围；例2.已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围．例3.已知1cossin22yx)0(表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围．题型六.椭圆的第二定义的应用例1.方程222(1)(1)2xyxy所表示的曲线是学生版page6例2.求经过点(1,2)M，以y轴为准线，离心率为12的椭圆的左顶点的轨迹方程；例3.椭圆221259xy上有一点P，它到左准线的距离等于52，那么P到右焦点的距离为例4．已知椭圆13422yx，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点12,FF距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。例5．已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．求223PFPA的最小值及对应的点P的坐标．题型七.直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例1.当m为何值时，直线:lyxm与椭圆22916144xy相切、相交、相离？例2.曲线22222xya（0a）与连结(1,1)A，(2,3)B的线段没有公共点，求a的取值范围。例3.过点)0,3(P作直线l与椭圆223412xy相交于,AB两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。例4.求直线cossin2xy和椭圆2236xy有公共点时，的取值范围(0)学生版page7（二）弦长问题例1.已知椭圆22212xy，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，求点A的坐标。例2.椭圆221axby与直线1xy相交于,AB两点，C是AB的中点，若22||AB，O为坐标原点，OC的斜率为22，求,ab的值。例3.椭圆1204522yx的焦点分别是1F和2F，过中心O作直线与椭圆交于,AB两点，若2ABF的面积是20，求直线方程。（三）弦所在直线方程例1.已知椭圆221164xy，过点(2,0)P能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好是P；例2.已知一直线与椭圆224936xy相交于,AB两点，弦AB的中点坐标为(1,1)M，求直线AB的方程；学生版page8例3.椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率32e,过点(1,0)C的直线l与椭圆E相交于,AB两点，且C分有向线段AB的比为（1）用直线l的斜率(0)kk表示OAB的面积；（2）当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．（四）关于直线对称问题例1.已知椭圆22143xy，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线4yxm对称；例2.已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于6，离心率322e，试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同两点,AB，且线段AB恰被直线21x平分？若存在，求出直线l倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。学生版page9题型八.椭圆中的定值、定点问题例1.已知点00(,)Pxy是椭圆22:12xEy上任意一点，直线l的方程为0012xxyy，直线0l过P点与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线0l的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。例2.已知椭圆两焦点1F、2F在y轴上，短轴长为22，离心率为22，P是椭圆在第一象限弧上一点，且121PFPF，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；例3.动直线(1)ykx与椭圆22:1553xyC相交于A、B两点,点7(,0)3M，求证：MAMB为定值.[例4.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:13xCy.斜率为(0)kk＞且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x于点(3,)Dm.（Ⅰ）求22mk的最小值；（Ⅱ）若2OGOD·OE，求证：直线l过定点；学生版page10题型九.椭圆最值问题（一）焦点三角形角度最值-------最大角法（求离心率问题）例1.已知椭圆C：22221(0)xyabab两个焦点为12,FF，如果曲线C上存在一点Q，使12FQFQ，求椭圆离心率的最小值。例2.21FF、为椭圆012222babyax的左、右焦点，如果椭圆上存在点P，使9021PFF。求离心率e的取值范围。例3.若BA,为椭圆)0(12222babyax的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使0120AQB，求此椭圆离心率的最小值。（二）一动点两定点最值①||1||MFeMP：最小值为M到对应准线的距离-----运用第二定义，转点距到线距突破②︱MP︱+︱MF2︱：最大值2a+︱PF1︱,最小值2a–︱PF1︱---运用第一定义，变加为减突破例4.若椭圆13422yx内有一点1,1P，F为右焦点，椭圆上的点M使得||2||MFMP的值最小，则点M的坐标为例5.已知11216,)3,2(22yxFA是的右焦点，点M为椭圆的动点，求MFMA2的最小值，并求出此时点M的坐标。例6.点M为椭圆1162522yx的上一点，1F、2F为左右焦点；且)2,1(A求||35||1MFMA的最小值学生版page11例7.定点(2,1)A，1F为椭圆22:12516xyC的左焦点，点P为C上，则13||5||PAPF的最小值例8.P(-2,3),F2为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最值例9.P(-2,6),F2为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上，求︱MP︱+︱MF2︱最值。（三）点到线最值---------参数法例10.求椭圆1422yx上点M(x,y)到直线l：x+2y=4的距离的最值.例11.椭圆227428xy上的点到直线:32160lxy的距离最短.例12.椭圆221164xy上的点到直线220xy的最大距离及相应坐标.（四）面积最值(组合式)---------参数法例13.椭圆1222yx的内接矩形面积的最大值.例14.点P在椭圆2212516xy上运动，则xy的最大值。例15.椭圆12222byax与x轴、y轴正方向相交于A、B两点，在椭圆的劣弧AB（第一象限内）上取一点C，使四边形OACB的面积最大，求最大面积。学生版page12（五）分式最值---------斜率法例16.若点(,)xy在椭圆2244xy上,求12yx最大值为______，最小值为_____.例17.若点(