双曲线综合题(含参考答案)

精心整理双曲线综合题（含答案）一、0,00pxyxa是双曲线2222:10,0xyEabab上一点，M,N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为15．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OCOAOB,求的值．解：（1）点000(,)()Pxyxa在双曲线22221xyab上，有2200221xyab由题意又有00001,5yyxaxa可得222222305,6,5cabcabbea则（2）联立2222255,410350,xybxcxbyxc得设1122(,),(,)AxyBxy则122125,2354cxxbxx………………（1）设31211312(,),,xxxOCxyOCOAOByyy即又C为双曲线上一点，即2223355,xyb有2221212()5()5xxyyb化简得：22222211221212(5)(5)2(5)5xyxyxxyyb…………（2）又1122(,),(,)AxyBxy在双曲线上，所以222222112255,55xybxyb由（1）式又有2212121212121255()()45()510xxyyxxxcxcxxcxxcb得：240,0,4.解出或精心整理二、已知以原点O为中心，5,0F为右焦点的双曲线C的离心率52e。（I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（II）如题（20）图，已知过点11,Mxy的直线111:44lxxyy与过点22,Nxy（其中2xx）的直线222:44lxxyy的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求OGH的面积。解：（Ⅰ）设C的标准方程为22221(0,0)xyabab，则由题意55,2ccea又，因此222,1abca，C的标准方程为2214xy.C的渐近线方程为1,202yxxy即和20xy.（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点(,)EEExy在直线111:44lxxyy和222:44lxxyy上，因此有1E1E2E2E4444xxyyxxyy，.故点M、N均在直线EE44xxyy上，因此直线MN的方程为EE44xxyy.精心整理1411222OGHGHEEEEESOQyyxxyxy=222424EERExxxy.解法二：设(,)EEExy，由方程组11224444xxyyxxyy，，解得2112EE122112214(),yyxxxyxyxyxyxy.因21xx，则直线MN的斜率21E21E4yyxkxxy.故直线MN的方程为E11E()4xyyxxy，注意到1E1E44xxyy，因此直线MN的方程为EE44xxyy.下同解法一.三、已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.精心整理解：(1)设P(x,y)，则221(2)2||2xyx化简得x2－23y=1(y≠0)………………………………………………………………4分(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)与双曲线x2－23y=1联立消去y得(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0由题意知3－k2≠0且△＞0设B(x1,y1),C(x2,y2)，则2122212243433kxxkkxxky1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝k2(222243833kkkk＋4)＝2293kk因为x1、x2≠－1所以直线AB的方程为y＝111yx(x＋1)因此M点的坐标为(1131,22(1)yx)1133(,)22(1)yFMx,同理可得2233(,)22(1)yFNx因此2121293()22(1)(1)yyFMFNxx＝222222814343494(1)33kkkkkk＝0②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为(13,22)，33(,)22FM同理可得33(,)22FN因此2333()()222FMFN＝0综上FMFN＝0，即FM⊥FN故以线段MN为直径的圆经过点F…………12分四、已知12(2,0),(2,0)FF，点P满足12||||2PFPF，记点P的轨迹为E.（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）若直线l过点2F且与轨迹E交于P、Q两点.精心整理（i）设点(,0)Mm，问：是否存在实数m，使得直线l绕点2F无论怎样转动，都有0MPMQ成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.（ii）过P、Q作直线12x的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记||||||PAQBAB，求的取值范围.解：（Ⅰ）由12||||2PFPF12||FF知，点P的轨迹E是以1F、2F为焦点的双曲线右支，由2,22ca，∴23b，故轨迹E的方程为).1(1322xyx…（3分）（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为(2)ykx，与双曲线方程联立消y得0344)3(2222kxkxk，设11(,)Pxy、22(,)Qxy，∴2212221223004034303kkxxkkxxk，解得23k………………………………………（5分）（i）∵1212()()MPMQxmxmyy212122222121222222222()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)433xmxmkxxkxxkmxxmkkkkkmmkkk2223(45)3mkmk……………………（7分）假设存在实数m，使得0MPMQ，故得2223(1)(45)0mkmm对任意的32k恒成立，∴2210450mmm，解得1.m∴当1m时，0MPMQ.当直线l的斜率不存在时，由(2,3),(2,3)PQ及(1,0)M知结论也成立，精心整理综上，存在1m，使得0MPMQ.…………………………………………（8分）（ii）∵1,2ac，∴直线12x是双曲线的右准线，…………………………（9分）由双曲线定义得：2211||||||2PAPFPFe，21||||2QBQF，方法一：∴221211||||2||2||kxxPQAByy221211||2|()|kxxkxx221111.2||2kkk…………………………………………（10分）∵23k，∴21103k，∴1323………………………………………（11分）注意到直线的斜率不存在时，21|,|||此时ABPQ，综上，.33,21………………………………………………………………（12分）精心整理五、设四点A、B、C、D均在双曲线122yx的右支上。（1）若AB=CD（实数0），证明：ODOCOBOA（O是坐标原点）；（2）若︱AB︱=2，P是线段AB的中点，过点P分别作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为M、N，求四边形OMPN的面积的最大值。解：（1）∵AB=CD,∴AB∥CD①直线AB的斜率不存在时，设方程为mx（m＞1），设A（),1ym，则B(1,ym)且2m-21y=1∴OBOA=2m-21y=1同理1ODOC∴OBOA=ODOC②直线AB斜率存在时，设方程为bkxy与122yx联立得012)1(222bkbxxk设),(11yxA),(22yxB则21xx=212kkb，21xx=1122kb则OBOA=21xx+21yy=21xx+（bkx1）（bkx2）=)1(2k21xx+)(21xxkb+2b=1122kk∵AB∥CD∴直线CD与直线AB斜率相等,同理1122kkODOC∴OBOA=ODOC综上，OBOA=ODOC（2）AB斜率存在时，24AB=21(k）221)[(xx]421xx由（1）②得22221)1(2kkkb∵21xx＞0∴2k＞1,设),(00yxP，则0x=)(2121xx=21kkbbkxy00=21kb∴S=200yx200yx=12122kb=2111k∵2k＞1∴21＜S＜1;AB斜率不存在时，易得S=1综上，四边形OMPN面积的最大值为1。六、已知双曲线12222byax的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，且1AFAB,精心整理∠BAF=120o，（1）求双曲线C的方程；（2）过点P(0,4)的直线l交双曲线C于M,N两点，交x轴于点Q（点Q与双曲线C的顶点不重合），当QNQMPQ21，且73221时，求点Q的坐标。精心整理七、设F1,F2分别是双曲线1322yx的两焦点，点O为坐标原点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l:y=kx+b与圆O相切，（1）求b和k之间满足的关系式；（2）若直线l与已知双曲线交于M,N两点，向量||MNMN在向量21FF方向的投影是m，当211)(2mONOM时，求直线l的方程；（3）当411)(2mONOM时，求∆MON面积的取值范围。精心整理八、若F1,F2为双曲线12222byax(a0,b0)的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足0,11POMFPMOF，（1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过点N(2,3)，求双曲线的方程；（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为B1,B2（B1在y轴的正半轴上），过B2点作直线l与双曲线交于A,B两点，当BBAB11时，精心整理求直线l的方程。