合工大微电子专业固体物理习题-考试原题哦

例5、例6、例2、mBBdeDeTkkTECTkTkBBvv0221)(解答：德拜模型主要特点是：把布拉菲晶格看作是各向同性的连续介质，即把格波看作是弹性波，并且还假设纵的和横的弹性波的波速相等。波速为v的格波的色散关系是Page13例题对二维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高低温极限。vq在二维空间内，格波的等频线是一个个圆周，在区间内波速为v的格波的数目为dqqq22222vdSqdqSdz式中S是二维晶格的总面积。由此可得波速为v的格波的模式密度Page1422vSddzd)(考虑到二维介质有两支格波，一支纵波，一支横波，所以格波总的模式密度为其中，是纵波速度，是横波速度，格波的振动能qodq222112TLpvvv2pvSD)(LvTvdevSdDeEmBmBTkpTk022011)(Page15晶格的热容量mBBmBBTkTkBBpTkTkBBVedeTkkvSdDeeTkkC022202211)(积分限由下式确定mNdD02)(N为原子个数，作变量变换：pmvSN214由此得到Page16TkxB当温度较高时，晶格的热容量BmDTxxBpVkedxxeTkvSCD,023221xex1BDBpBTxxBpBVNkTTkvSkedxxeTkvSkCD221222202322Page17当温度较低时，积分TD2232131030233636161pBVnnnxxxvSkAATCndxxneedxxe)()(Page322222224akakakakakakJCEEzzzyyxssatsscoscoscoscoscoscos例6：用紧束缚方法处理面心立方晶格的s态电子，试导出其能带并求出能带底的有效质量。解：紧束缚模型能带表示式nRikssatssneJCEE4对面心立方晶格，取参考点的坐标为（0，0，0），则12个最近邻格点的坐标为220202022aaaaaa,,,,,,,,Page33zyzyzyzyzxzxzxzxyxyxyxyxkkaikkaikkaikkaikkaikkaikkaikkaikkaikkaikkaikkaissatsseeeeeeeeeeeeJCEE222222222222将上述十二组坐标代入能带的表达式，得Page3422222242222222akakakakakakJCEkkakkakkakkakkakkaJCEExzzyyxssatszyzyzxzxyxyxssatsscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos能带底即能量的最小值对应的k为（0,0,0）,可得能带底处的有效质量为222222022222aJmaJmaJkEmszzsyyskxxsxxi;;其它交叉项的倒数全为零。Page35)2cos81cos87()(22kakamakEkak222)0()(maEaEE例7、已知一维晶体的电子能带可写成：a式中是晶格常数。试求（1）能带的宽度；（2）电子在波矢状态时的速度；（3）能带底部和顶部电子的有效质量。解：（1）0k0)0(E处，电子能量为在能带顶222)(maaE处，电子能量为故能带宽度为0)kacos211(kasinka2sin41sinka0dkdE(k)在能带底Page36k)2sin41(sin1)(kakamadkdEkvkakamdkEdm2cos21cos/222*mm2*1mm32*2（2）电子在波矢的状态时的速度为（3）电子的有效质量为于是有在能带底部电子的有效质量为在能带顶部电子的有效质量为Page37晶体内部原子实与电子的运动——波动性与准粒子性外层电子原子实备注波自由电子（索未菲模型）布洛赫电子（能带论）格波为方便对波的描述,引入倒格子空间,用k表征波的状态.平移对称性无,平底势阱中的平面波功函数各向同性布洛赫波（x与k的周期性）能带,禁带空穴.填充情况:价带,导带.各向异性,(能带重迭)简单格子:声学支,max或min,复式格子:光学支,max和min格波数.（max～1014,红外）各向异性能带论是一种理论方法,对系统作充分的近似后，即把多体问题简化为单电子问题.可解方程布里渊区边界无强烈布啦格反射强烈布啦格反射倒格子空间引入所带来的方便之一.Page38周期性边界条件状态分立态密度状态分立态密度状态分立态密度保证了有限晶体边界的平移对称性准粒子自由粒子,能量:E=p2/2m动量:费米子,费米分布;Pauli原理费米面,费米能,费米能级,费米速度声子:集体运动的元激发.能量:动量:群速:玻色子:玻色分布.某一振动模式的振动能量:考虑成准粒子后,波的运动状态及相互作用问题可方便地用准经典运动的图象加以解决:相互作用可看成粒子间的相互碰撞,遵从动量守恒,能量守恒.pkEkm222/pkkkEv)(1mEkk*()12221能量:晶体动量:准经典速度:有效质量:外层电子原子实备注波自由电子（索未菲模型）布洛赫电子（能带论）格波为方便对波的描述,引入倒格子空间,用k表征波的状态.Page39解决主要问题电子比热,接触电势,热电子发射.金属,半导体,绝缘体的能带论解释;有效质量的能带论解释;正电荷载流子的解释晶格比热;晶格热导;热膨胀,光散射,Page40例题：.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律(各种金属的热导率与电导率之比大体上是相同的)，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。Page41例题：.金属自由电子论在空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？解：金属自由电子论在空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。例题：.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。第六章dkNadkk2221Page51例题设有一个面积为A的二维金属晶体，其中有N个自由电子，试求：（1）电子的状态密度（2）绝对零度下的费密能级及其随温度的变化关系。（3）电子平均能量。（4）电子比热。解：（1）对于二维晶体，在周期性边界条件下，电子波矢k可取的分立值为2,1,0),,(,2iiiinyxinLk在k空间中状态点的分布如图所示。每个状态点在k空间所占据的面积为ALLyx2222Page52所以每单位k空间面积中应含有22A个状态数，因此在dk面积元中应含有的状态数为dkAdZ22而自由电子的能量色散关系为mkE222在k空间中等能曲线为一圆，如图。在E－E＋dE两个等能圓之间的圆环面积为dEmkdkdk222所以在E－E＋dE能量间隔里的状态数dEmAdEmAdZ222222如果考虑到每个轨道状态可容纳自旋相反的两个电子，则可得电子的状态密度Page5322)(mAdEdZE由此可见，在二维晶体的情况下，状态密度是与能量无关的常数。（2）自由电子数N可由正式算出TkEExedxTkmAedEmAdEEfmAdEEfENBFTkExBTkEEBFBF,11)()()(202020TkEBTkExBTkExxBBFBFBFeTkmAeTkmAedxeTkmAN1ln)1ln(1222Page54由此可得费密能1expln2ANTmkTkEBBF当T→0时，所以绝对零度时的费密能级为1exp2ANTmkBANmANTmkTkEBBF220（3）自由电子气的总能量022020220220202)(2)(21)()()(dEEfEmAdEEfEEfEmAdEEfmAdEEEfmAdEEfEEETPage55利用索末菲展开式,)()(6)()(220FBFEgTkEgdEEfEgI则得到2)(EEg并令22222222231232FBFBFTETkEmATkEmAENEET每个自由电子的平均能量为22202022020FFFEEmNANEmAE在绝对零度下Page56（4）由TE可求得二维金属的电子热容量TkmATECBVTV223二维金属的单位面积比热)(,3,,300020220BFFFBVBVVkETTTkANCorTkmACCPage57原子为单价的。（1）画出第一、二布里渊区；（2）计算自由电子费密半径；（3）画出费密面在第一、二布里渊区的形状。0042AbAa,第五章第10题P236二维金属晶格，晶胞为简单矩形，晶格常数为解答：倒格子原胞基矢为jbbiab2221,选定一倒格点为原点，原点最近邻倒格矢有4个，它们是Page58这4个倒格矢的中垂线与第一布里渊区边界围成的区间即是第二布里渊区。21bb,这4个倒格矢的中垂面围成的区间是第一布里渊区。原点的次近邻倒格矢有4个，它们是21bbPage59（2）在绝对零度时，二维金属中导电电子若看成自由电子，电子的能量为mkE222能量在dEEE区间内的电子占据波矢空间dk的范围，在此范围内的波矢数目为2222mdEkdkkdkS能量在dEEE区间内的量子态数目为dEmSmdESdz222222能量在dEEE区间内的量子态数目为波矢密度Page60能态密度2mSdEdzEN)(在绝对零度时，费密能级以下的量子态全被电子占据，所以有mnSNmEEmSdEmSdEENdEENEfNFFEEEFFF0020200000)()()(其中n是金属中导电电子的密度，令mkEFF2220Page61得到电子费密半径212nkF原胞面积19219220108628102511042mkmnmsF..