初二等腰三角形总复习

13.3等腰三角形13.3.1等腰三角形1．(1)已知一个等腰三角形的底为4，腰为7，则该三角形的周长是多少？(2)已知一个等腰三角形有一条边长度为4，还有一条边长度为7，则该三角形的周长是多少？(3)已知一个等腰三角形有一条边长度为3，还有一条边长度为7，则该三角形的周长是多少？2．已知一个等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是多少度？已知一个等腰三角形的底角为50°，则它的顶角是多少度？已知一个等腰三角形有一个内角为70°，则它的底角是多少度？3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有（）A、2对B、3对C、4对D、5对4．等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的腰的长．5．如图，△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=50°，求∠B、∠C的度数．FEDBCA-2-6．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F．求证：EF=ED．7．△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC8．如图，AD和BC交于点O，AB∥DC，OA=OB，试说明△OCD是等腰三角形.9如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（）A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cmABDCFEGDBCABCABACDO-3-10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABCB．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BCD．点D是线段AC的中点11．下列说法正确的是()A.两腰相等的三角形是等腰三角形B.等腰三角形的中线、高、角分线三线合一C.“等边对等角”和“等角对等边”都是等腰三角形的性质D.等腰三角形的外角中一定有钝角12．已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证：AD=CD．CAOBDDEABC-4-13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，求三角形三个内角的度数．14．已知：如图，AB=AC，CE⊥BC，BD⊥BC.过点A的直线DE交BD于D，交CE于E.求证：AD=AE.15．如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点(M与A不重合)MD⊥BC，交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA．CBDABCADEBCADM-5-16．如图，∠AOB是一钢架，且∠AOB＝15°，为了使钢架更加坚固，需要其内部添加一些钢管EF、FG、GH，···，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．17．已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，AF⊥CD于点F，求证：∠1=∠2.HGFOBEA21EDCFBA-6-18．已知：平面坐标系内点A坐标为(1,1)，点B在坐标轴上.若△OAB为等腰三角形，则点B的位置有多少种可能？13.3.2等边三角形1．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：BD=DE．2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=12∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=12DB．3．如图，在一场足球比赛中，球员A欲传球给同伴B，对方球员C意图抢断传球，已知球速为16m/s，DABCEDCEAB-7-球员速度为8m/s．当球由A传出的同时，球员C选择与AC垂直的方向出击，恰好在点D处将球成功抢断，则角α=。（球员反应速度、天气等其他因素均不予考虑）4．如图，等边三角形ABC内有一点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，垂足分别为E，F，D，且AH⊥BC于H，试用三角形面积公式证明：PE+PF+PD=AH．5．如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，求证：△ABD≌△CAE6．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④7．如图，等边△ABC中，D、E分别为AB、AC上两点，下列结论：①若AD=AE，则△ADE是等边三角形；②若DE∥BC，则△ADE是等边三角形，其中正确的有（）A．①B．②C．①②D．都不对αDABCFDEHABCPFABCDE-8-8．如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，求证：△DEF是等边三角形.9．如图，D为等边三角形ABC内一点，将△BDC绕着点C旋转成△AEC，则△CDE是怎样的三角形？请说明理由.10．如图，△ABC为等边三角形，∠BAD=∠CBE=∠ACF．(1)求∠EDF的度数；(2)求证：△DEF为等边三角形．11．已知，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，请证明：AB=2BC.ABCDEABCFEDEABCDEDFBCA-9-12．已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点.(1)若AD=BE=CF．试证明△DEF是等边三角形．(2)若△DEF是等边三角形，那么AD=BE=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明原因.13．如图，等边△ABC与等边△DEC共顶点于C点．求证：AE=BD．14．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，DB=8，求AC的长．15．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．(1)请证明：OB=AD．(2)△AOD能否成为等边三角形？如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．ABCDBCAEFBCDAEDEBAC-10-16．等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则该等腰三角形的面积是.17．如图，点D、E是等边△ABC的边BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．18．如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形．请你证明：(1)AN=BM；(2)DE∥AB；(3)CF平分∠AFB．αBCOADPEQCBAD-11-13.3等腰三角形13.3.1等腰三角形1．18，15或18，17.2．65°，80°，70°或55°.3．B.4．8cm或10cm.5．65°,32.5°.6．证明：∵AD是BC边上的中线，∴ED⊥BC（等腰三角形三线合一），又∵BG是∠ABC的平分线，EF⊥AB，∴EF=ED（角平分线上的点到角两边的距离相等）．7．证明：方法一：FEDACBMN-12-如图，作△ABC中BC边上的高线，垂足为D，在Rt△ADB和Rt△ADC中，∵,,,BCADBADADADC∴Rt△ADB≌Rt△ADC（AAS）∴AB=AC．方法二：如图，作△ABC中∠BAC的角平分线AD，在△ADB和△ADC中，∵,,,BADCADADBADCADAD∴△ADB≌△ADC（AAS），∴AB=AC．方法三：将△ABC视为△ABC和△ACB两个三角形，在△ABC和△ACB中，∵,,,BCBCCBCB-13-∴△ABC≌△ACB（ASA），∴AB=AC．8．证明：∵OA=OB，∴∠A=∠B，又∵AB∥DC，∴∠C=∠B，∠D=∠A，∴∠C=∠D，∴△OCD是等腰三角形.9．A.10．D.11．D.12．如图，连接AC，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵∠BAD=∠BCD，∴∠BAD∠BAC=∠BCD∠BCA，即∠DAC=∠DCA，∴AD=CD(等角对等边).13．30°，75°，75°或150°，15°，15°14．如图，过点A作AM⊥EC于点M，过点A作AN⊥BD交DB延长线于点N，∵AM⊥ECAN⊥BD，∴∠AMC=∠ANB=90°，∵∠NBC=∠MCB=90°，∠ABC=∠ACB，∴∠NBA=∠MCA，又∵AB=AC，∴△ABN≌△ACM（AAS），∴AN=AM，又∵∠AND=∠AME=90°，∠D=∠E，∴△ADN≌△AEM（AAS），∴AD=AE.-14-15．∵MD⊥BC，且∠B=90°，∴AB∥MD，∴∠BAD=∠D，又∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠MAD，∴∠D=∠MAD，∴MA=MD.16．5.17．如图，分别延长AB、AE交CD延长线于点M、N，∵∠ABC=∠AED，∠BCD=∠EDC，∴∠MBC=∠NED，∠BCM=∠EDN（同补角相等），又∵BC=DE，∴△BCM≌△EDN（ASA），∴∠M=∠N，∴AM=AN，∴△AMN为等腰三角形，又∵AF⊥CD，∴∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.18．8.13.3.2等边三角形1．证明：∵D是等边三角形ABC的AC边上的中点，∴BD平分∠ABC（等腰三角形三线合一），∴∠CBD=12∠ABC=30°，又∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，又∵∠BCD=∠CDE+∠E=2∠E，∴∠E=30°=∠CBD，∴BD=DE（等角对等边）．-15-2．证明：∵∠BAD=12∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC=DE（垂直平分线上的点到角两边的距离相等），∴在△ADE和△BDE中，∵,,,DEDADEBEDEDEADEB∴△ADE≌△BDE（ASA），∴∠B=∠DAE=∠CAD，∴∠B=30°，∴DE=12DB，又∵CD=DE，∴CD=12DB．3．30°.4．证明：如图，连接PA，PB，PC，则S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC，∴S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC=12PE×AB+12PD×BC+12PF×AC，又∵AB=BC=AC，∴S△ABC=12（PE+PF+PD）×BC，又∵S△ABC=12AH×BC，∴PE+PF+PD=AH．5．证明：在△ABD和△CAE中，∵,,,DBAEABDAEBAACC-16-∴△ABD≌△CAE（SAS）.6．D.7．C.8．证明：∵△ABC是等边三角形，且AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，在△ADF、△BED和△CFE中，∵,,ADBECFCAFBDBEAC，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=FE，∴△DEF是等边三角形.9．△CDE是等边三角形证明：∵△AEC由△BDC绕着点C旋转而成，∴△AEC≌△BDC，∴CD=CE，∴△CDE是等腰三角形，又∵∠BCD=∠ACE，∴∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD，即∠ACB=∠ECD，∴∠ECD=60°，∴△CDE是等边三角形.10．⑴∵ΔABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵∠BAD=∠CBE,∴∠EDF=∠BAD+∠ABD=∠CBE+∠ABD=∠ABC=60°.⑵∵ΔABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∵∠CBE=∠ACF,∴∠FED=∠CBE+∠ECB=∠ACF+∠ECB=60°,又∵∠EDF=60°,∴∠FED=∠EDF=∠DFE=60°,∴ΔDEF是等边三角形.11．如图，延长BC至点D，使CB=DC，连接AD，∵∠ACB=∠ACD=90°，CB=DC，∴△ABC≌△ADC(SAS)，∴∠B=∠D，∵∠A=30°，∴∠B=∠D=∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=BC+CD=2BC.-17-12．(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C，AB=AC=BC，又∵AD=BE=CF，∴CD=AE=BF，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE=DF=EF，∴△DEF为等边三角形；(2)∵△ABC、△DEF是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∠DEF=∠EDF=∠DFE=60°，又∵∠AED+∠ADE=120°，∠ADE+∠CDF=120°，∴∠AED=∠CDF，同理可证∠AED=∠BFE，∴∠AED=∠CDF=∠BF