单自由度系统固有频率的计算方法

单自由度系统固有频率的计算方法(1)定义法单自由度系统无阻尼自由振动的运动微分方程为：等式两边同÷m，得：mx+kx=0x+kmx=0令wn=km（即为固有圆频率）则x+wn2x=0单自由度系统固有频率的计算方法根据定义只要已知系统的总刚度k和质量m就可以求出固有圆频率。其中总的刚度k，可以由弹簧串并联公式求出串联弹簧刚度：1k=1k1+1k2并联弹簧刚度：k=k1+k2单自由度系统固有频率的计算方法设弹簧的静伸长量为λs，质量块的重量为W，当单振子处于平衡状态时，弹簧的弹性力与振动质量的重力互相平衡，即存在以下关系式：(2)静变形法kλs=W由上式可得：k=𝑊λs=mgλs所以系统的固有圆频率为：wn=km=gλs由此可见，只要知道质量块处的弹簧静变形λs，就可以计算出系统的固有频率。单自由度系统固有频率的计算方法在无阻尼自由振动系统中，由于没有能量损失，所以振幅始终保持为一常数，我们将这样的系统称为保守系统。(3)能量法根据能量守恒定律，保守系统动能变化量等于势能变化量以单自由度无阻尼自由振动系统为例𝑥=Asin(𝑤𝑛𝑡+𝜃)𝑥=A𝑤𝑛cos(𝑤𝑛𝑡+𝜃)振动方程：速度方程：单自由度系统固有频率的计算方法取静平衡位置为零势能点，则任意位置势能有：U=12kx+𝛿𝑠𝑡2−𝛿𝑠𝑡2−𝑚𝑔𝑥在静平衡位置处有：k𝛿𝑠𝑡=mgU=12kx2=12k𝐴2𝑠𝑖𝑛2(𝑤𝑛𝑡+𝜃)势能：动能：T=12𝑥2=12w𝑛2𝐴2cos2(𝑤𝑛𝑡+𝜃)物体在平衡位置处动能最大：Tmax=12w𝑛2𝐴2单自由度系统固有频率的计算方法无阻尼系统是保守系统，其机械能守恒，有：物体在偏离平衡位置的极端处势能最大：Umax=12𝐾2𝐴2Umax=Tmaxwn=km复杂的单自由度系统用能量法求固有频率比较方便。单自由度系统固有频率的计算方法前面介绍的几种计算方法，都是忽略弹簧的质量。但是，在有些系统中，弹簧的质量比较大，在忽略会使得计算出来的固有频率偏高。瑞利能量法则将弹簧质量考虑了进去。(4)瑞利能量法以弹簧质量系统为例假设弹簧上距固定端为h处的位移为：xh=hx𝐿式中L-处于平衡位置时弹簧的长度；x-弹簧在联结质量块一端的位移。单自由度系统固有频率的计算方法当质量块在某一瞬时的速度为x时，弹簧在h处的微段dh的速度应为hx𝐿。令𝜌表示弹簧单位长度的质量，则弹簧微段dh的质量为𝜌dh，而其最大动能则为12𝜌∙dh∙(ℎ𝑥𝑚𝑎𝑥𝐿)2。所以弹簧的全部动能为：𝑇𝑆=12𝜌(ℎ𝑥𝑚𝑎𝑥𝐿)2𝑑ℎ=𝑥𝑚𝑎𝑥22(𝜌𝐿3)L0显然，系统的全部动能应该是质量块的最大动能与弹簧的最大动能之和：𝑇max=12m𝑥𝑚𝑎𝑥2+𝑥𝑚𝑎𝑥22𝜌𝐿3=12(m+𝜌𝐿3)𝑥𝑚𝑎𝑥2单自由度系统固有频率的计算方法系统的最大势能仍与无质量弹簧的情况相同，即：𝑈max=12k𝑥𝑚𝑎𝑥2将上面两个式子代入方程𝑈max=𝑈max，得：12(m+𝜌𝐿3)𝑥𝑚𝑎𝑥2=12k𝑥𝑚𝑎𝑥2对简谐振动来说，上式即成为：wn2𝐴22(m+𝜌𝐿3)=k𝐴22由此可得出系统固有频率的计算公式为：wn=km+𝜌𝐿3