如何求原函数2

第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分1、原函数：若Ix∈∀,)()(xfxF=′,则称)(xF为)(xf在I上的一个原函数.例如：xxcos)(sin=′，xsin是xcos的原函数.２、原函数性质(1)原函数存在定理：设)()(ICxf∈,则)(xf存在I上的原函数)(xF.(2)若)(xF为)(xf在I上的原函数，则CxF+)(都是)(xf的原函数,其中C为任意常数.(3)若)(xF和)(xG都是)(xf的原函数，则R∈∃C,..tsCxGxF=−)()(.证明：[]0)()()()()()(=−=′−′=′−xfxfxGxFxGxF.CxGxFs.t.C=−∈∃∴)()(,R.(4)设)(xF为)(xf在I上的原函数,则)(xf在I上全体原函数为R∈+CCxF,)(.3、不定积分：函数)(xf在I上的全体原函数称为)(xf在I上的不定积分,记作∫dxxf)(.其中：(1)∫称为积分号；(2))(xf称为被积函数；(3)dxxf)(称为被积表达式.(4)x称为积分变量.显然,若)(xF为)(xf在I上的原函数,则CxFdxxf+=∫)()(,C为任意常数.例1求.5dxx∫解:,656xx=′.665Cxdxx+=∴∫例2求.112∫+dxx解:(),11arctan2xx+=′.arctan112∫+=+∴Cxdxx例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解:设曲线为),(xfy=根据题意知,2xdxdy=(),22xx=′,22∫+=∴Cxxdx于是,)(2Cxxf+=又2)1(=f,1=⇒C所求曲线方程为.12+=xy4、积分曲线：函数)(xf原函数)(xFy=的图形称为)(xf的积分曲线.注：)(xf的不定积分是一簇积分曲线CxF+)(.5、导数与不定积分的关系(1)Cxfdxxf+=′∫)()(.(2))()(xfdxxfdxd=∫.(3)Cxfxdf+=∫)()(.(4)dxxfdxxfd)()(=∫.可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.二、基本积分表1、问题提出例：µµµxx=′++11)1(−≠µ.11Cxdxx++=⇒+∫µµµ启示：能否根据求导公式得出积分公式？结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.2、基本积分表Ckxkdx+=∫)1((k为常数)；);1(1)2(1−≠++=+∫µµµµCxdxx;||ln)3(∫+=Cxxdx证明：①⇒,0x,ln∫+=Cxxdx②=′−])[ln(,0xx,1)(1xxx=′−−∴.||ln∫+=Cxxdx=+∫dxx211)4(;arctanCx+=−∫dxx211)5(;arcsinCx+∫=xdxcos)6(;sinCx+∫=xdxsin)7(;cosCx+−=∫xdx2cos)8(∫=xdx2sec;tanCx+=∫xdx2sin)9(∫=xdx2csc;cotCx+−∫=xdxxtansec)10(;secCx+∫=xdxxcotcsc)11(;cscCx+−=∫dxex)12(;Cex+=∫dxax)13(;lnCaax+三、不定积分的性质1、∫∫∫±=±dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.证明：()∫∫∫∫±=±dxxgdxddxxfdxddxxgdxxfdxd)()()()()()(xgxf±=,∴∫∫∫±=±dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.2、∫∫=dxxfkdxxkf)()(.（k是常数,0≠k）.证明：()∫∫==)()()(xkfdxxfdxdkdxxfkdxd,∴∫∫=dxxfkdxxkf)()(.例4dxxx∫2dxx∫=25Cx++=+125125.7227Cx+=++=+∫Cxdxx11µµµ例5dxxxxdxxxxxdxxx∫∫∫−+−=−+−=−)133(133)1(222323Cxxxx+++−=221||ln332.例6Cxedxxexx+−=−∫sin3)cos3(.例7CeCeedxedxexxxxxx++=+==∫∫2ln12)2ln()2()2(2.+=∫Caadxaxxln例8dxxxdxxxxxdxxxxx∫∫∫++=+++=+++111)1()1()1(122222Cxxdxxdxx++=++=∫∫||lnarctan1112.例9dxxxdxxxdxxx∫∫∫++−=++−=[phone]Cxxx++−=arctan33.例10Cxxdxxdxx+−=−=∫∫tan)1(sectan22.例11Cxxdxdxx+−=−=∫∫)sin(21cos)1(212sin2.例12Cxdxxdxxdxx+==−+=+∫∫∫tan21cos1211cos2112cos1122.第二节换元积分法一、第一类换元法1、问题提出问题：如何求dxx∫2cos2？分析：)2(sin)2(2cos2cos2′=′⋅=xxxx,∴Cxdxx+=∫2sin2cos2.解法：令xu2=,由于Cuduu+=∫sincos,而dxdu2=,xu2coscos=,∴Cxdxx+=∫2sin2cos2.2、第一类换元法定理：设)(uf具有原函数，)(xuϕ=可导，则有换元公式∫∫==′)(])([)()]([xuduufdxxxfϕϕϕ.证明：)()()(])([xufdxduduufdudduufdxdϕ′=⋅=∫∫)()]([xxfϕϕ′=,∴∫∫==′)(])([)()]([xuduufdxxxfϕϕϕ.例1CxCuduudxxxudxdu++=+=====+∫∫+==|23|ln21||ln21121231232.例2CeCeduedxxexuuxuxdxdux+=+=====∫∫==22222.例3CxCuduudxxxxuxdxdu+−−=+−=−====−∫∫−=−=3223122)1(3123212112.例4Cxxxddxxxdxx+===∫∫∫|cos|lncoscoscossintan.例5Caxaaxdaxadxxa+=+=+∫∫arctan1)()(1111222.例6Caxaxdaxdxxa+=−=−∫∫arcsin)()(111222,)0(a.例7∫∫∫∫+−−=−====−=−==duuuauduaaxaxdadxaxaxudxadu)1111(21111)()(112222Cuauauudauuda++−−=++−−−=∫∫|1|ln21|1|ln211)1(211)1(21CaxaxaCaxaxaCuua++−=++−=++−=ln2111ln2111ln21.例8Cxxxdxxdxxdx++=++=+=+∫∫∫|ln21|ln21ln21)ln21(21ln21ln)ln21(.例9CeCeudeduedxxexuuuxuxdxdux+=+======∫∫∫==3333233232)3(322.例10xdxxdxdxxcos)cos1(cossinsin223∫∫∫−−=−=Cxx++−=3cos31cos.例11xdxxxdxxdxxxsin)sin1(sinsincossincossin2224252∫∫∫−==Cxxxxdxxx++−=+−=∫753642sin71sin52sin31sin)sinsin2(sin.例12Cxxdxxdxx++=+=∫∫2sin412122cos1cos2.例13Cxxxdxx++−=∫4sin3212sin4183cos4.其中：xxxxx2cos412cos214122cos1)(coscos22224++=+==xxxx4cos812cos218324cos1412cos2141++=+⋅++=.例14Cxxxxdxxdxdxdxx++−−=−−===∫∫∫∫1sin1sinln211sinsincossincossec22CxxCxxCxx++=++=+−+=tanseclncossin1lnsin1)sin1(ln2122.例15Cxxdxxxxdxx++=+=∫∫5sin101sin21)5cos(cos212cos3cos.注意到：)]cos()[cos(21coscosβαβαβα−++=.二、第二类换元法1、问题提出问题：如何求dxx∫−21？解法：如果令txsin=,]2,2[ππ−∈t,那么Cttdttdxx++==−∫∫2sin4121cos122CxxxCttt+−+=++=2121arcsin21cossin2121.2、第二类换元法(1)定理：设)(txψ=是单调的、可导的函数，并且0)(≠′tψ，又设)()]([ttfψψ′具有原函数，则有换元公式)(])()]([[)(xtdtttfdxxfψψψ=∫∫′=.其中)(xψ是)(txψ=的反函数.证明：dxdtdtttfdtddtttfdxd⋅′=′∫∫])()]([[])()]([[ψψψψ)()(1)()]([1)()]([xftttfdtdxttf=′⋅′=⋅′=ψψψψψ∴)(])()]([[)(xtdtttfdxxfψψψ=∫∫′=.(2)三角代换一般规律：当被积函数中含有①22xa−,可令taxsin=；②22xa+,可令taxtan=；③22ax−,可令taxsec=.例16∫∫∫++==+=====+=−∈12tan)2,2(22|tansec|lnsectan1tansecCtttdttatdttaxadxtaxtππ1212)(1ln|tantan1|lnCaxaxCtt+++=+++=Cxax+++=||ln22.(0a)其中：aCCln1−=.例17∫∫∫++==−====−=12sec2022|tansec|lnsec1sectansecCtttdttatdttaaxdxtaxtπ12121)(ln|1secsec|lnCaxaxCtt+−+=+−+=Caxx+−+=||ln22.(0ax)其中：aCCln1−=.同时：2222222|)(|ln)()(Caxxaxxdaxdx+−−+−−=−−−−=−∫∫2222222ln1lnCaaxxCaxx+−+=+−+−=Caxx+−+=22ln.(0−ax)其中：aCCln22−=.总之：Caxxaxdx+−+=−∫||ln2222.(0a)(3)倒代换当分母的阶较高时,可采用倒代换:tx1=.例18∫∫∫−=−−===−=dtttdttttdxxxtx1)1()1(112224142CxCttdt+−−=+−−=−−−=∫2322322212)11(31)1(23121)1()1(21三、基本积分表(续)∫+−=Cxxdx|cos|lntan)14(；∫+=Cxxdx|sin|lncot)15(；∫++=Cxxxdx|tansec|lnsec)16(；∫+−=Cxxxdx|cotcsc|lncsc)17(；Caxdxxa+=−∫arcsin1)18(22；Caxadxxa+=+∫arctan11)19(22；Caxaxadxax++−=−∫ln211)20(22；Caxxdxax+±+=±∫||ln1)21(2222.例19Cxxxdxxdx++=+++=++∫∫21arctan21)2()1()1(32222.例20Cxxxxdxdx+++=+=+∫∫)942ln(213)2()2(21942322.例21∫∫−⋅⋅+−=−+2222)21(212)25(1xxdxxxdxCxCxxxd+−=+−=−−−=∫512arcsin2521arcsin)21()25()21(22.第三节分部积分法一、分部积分法1、问题提出由于xxxxxsincos)sin(+=′,那么=+∫∫dxxxdxxsincosCxxdxxxx+=+∫sin)sincos(,从而CxxxCdxxxxxdxx++=+−=∫∫cossinsi