导数的概念及运算

导数的概念及运算一、导数的概念1.定义：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是lim∆𝒙→𝟎𝒇𝒙𝟎+∆𝒙−𝒇(𝒙𝟎)∆𝒙=lim∆𝒙→𝟎∆𝒇(𝒙)∆𝒙称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作𝒇′𝒙𝟎或𝒚′𝒙=𝒙𝟎。即:𝒇′𝒙𝟎=lim∆𝒙→𝟎𝒇𝒙𝟎+∆𝒙−𝒇(𝒙𝟎)∆𝒙。（1）𝑓′𝑥0与𝑥0的值有关，不同的𝑥0其导数值一般也不相同。（2）𝑓′𝑥0与∆𝑥的值无关。（3）瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称.2.有关导数定义的几点理解：0000(Δ)()()lim.xfxxfxfxx特别注意：导数是在研究函数𝑓(𝑥)在点𝑥0处及其附近函数的改变量∆𝑦与自变量的该变量∆𝑥之比的极限，它是一个局部性的概念，若lim∆𝒙→𝟎∆𝒚∆𝒙存在，则函数y=f(x)在点𝑥0处有导数，否则就没有导数，即lim∆𝒙→𝟎∆𝒚∆𝒙的存在，表示一个定数，函数y=f(x)在点𝑥0处的导数是一个定值。定义法求函数的导数例1：设函数f(x)在点𝑥0可导，试求下列极限的值。（1）lim∆𝒙→𝟎𝒇𝒙𝟎−∆𝒙−𝒇(𝒙𝟎)∆𝒙（2）limℎ→𝟎𝒇𝒙𝟎+𝟑𝒉−𝒇(𝒙𝟎−𝟐𝒉)𝟓𝒉例2：已知𝒇′𝒙𝟎=−𝟐，求lim𝑘→𝟎𝒇𝒙𝟎−𝟏𝟐𝒌−𝒇(𝒙𝟎)𝒌的值。例3：已知𝒇′𝒙𝟎=lim∆𝒙→𝟎𝒇𝒙−𝒇𝒙𝟎𝒙−𝒙𝟎，𝒇𝟑=𝟐，𝒇′𝟑=−𝟐，则lim𝒙→𝟑𝟐𝒙−𝟑𝒇(𝒙)𝒙−𝟑=__________1.设𝒇𝒙=𝟏𝒙，则𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂𝒇𝒙−𝒇(𝒂)𝒙−𝒂=（）A.−𝟏𝒂B.𝟐𝒂C.−𝟏𝒂𝟐D.𝟏𝒂𝟐习题：2.已知函数𝒇(𝒙)在𝒙𝟎处的导数为𝒇′𝒙𝟎=𝟒，则𝒍𝒊𝒎∆𝒙→𝟎𝒇𝒙𝟎−𝒇𝒙𝟎−𝟑∆𝒙𝟒∆𝒙=________函数在点𝒙𝟎处的导数𝒇′(𝒙𝟎)、导函数𝒇′(𝒙)、导数之间的区别与联系：（1）函数在一点𝒙𝟎处的导数𝒇′(𝒙𝟎)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数𝑓(𝑥)的导函数𝒇′(𝒙)。（3）函数在点𝒙𝟎处的导数𝒇′(𝒙𝟎)，就是导函数𝒇′(𝒙)在𝒙=𝒙𝟎处的函数值，这也是求函数在点𝒙𝟎处的导数的方法之一。二、导函数如果𝒇(𝒙)在开区间(𝑎,𝑏)内每一个点处都是可导的，则称𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内可导。在区间(𝑎,𝑏)内𝒇′(𝒙)构成一个新函数，我们把这个函数称为函数𝑓(𝑥)的导函数，简称导数。三、导数的计算11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则导数的运算法则法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx例4:求下列函数的导数:;41)1(32xxy;)1(1)2(222xxy;cos1)3(2xy（1）𝑦=1𝑥−2𝑥2（2）𝑦=𝑥1−𝑥2（3）𝑦=𝑡𝑎𝑛𝑥（4）𝒚＝(𝟑𝒙𝟑－𝟒𝒙)(𝟐𝒙＋𝟏)；（5）𝒚＝𝟑𝒙𝒆𝒙－𝟐𝒙＋𝒆；（6）𝐲＝𝒍𝒏𝒙𝒙𝟐+𝟏𝒚′＝𝟐𝟒𝒙𝟑＋𝟗𝒙𝟐－𝟏𝟔𝒙－𝟒𝒚′＝(ln𝟑＋𝟏)·(𝟑𝒆)𝒙－𝟐𝒙𝒍𝒏𝟐𝒚′=𝒙𝟐+𝟏−𝟐𝒙𝟐∙𝐥𝐧𝒙𝒙(𝒙𝟐+𝟏)𝟐2.复合函数的导数:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为;xuxuyyy对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.例5：求下列函数的导数（1）𝑦=𝑒2𝑥+𝑒−2𝑥（2）𝒚＝ln(𝟑𝒙－𝟐)＋𝒆𝟐𝒙－𝟏例6：求下列函数的导数（1）𝑦=𝑥2sin𝑥2cos𝑥2（2）𝑦=11−𝑥+11+𝑥例7：设𝑓𝑥=𝑥𝑥+1𝑥+2∙∙∙𝑥+𝑛,则𝑓′0=___________四、导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是𝒇′(𝒙).故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy即:xxfxxfxykxx)()(limlimtan0000切线注意：曲线在某点处的切线，（1）与该点的位置有关;（2）要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;（3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.注意：（1）若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑃(𝑥0,𝑓(𝑥0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直。（2）𝒇′(𝒙𝟎)𝟎，则切线的倾斜角为锐角，若𝒇′(𝒙𝟎)𝟎，则切线的倾斜角为钝角，若𝒇′𝒙𝟎=𝟎，则切线与x轴平行。例8：已知直线𝑙1为曲线𝑦=𝑥2+𝑥−2在点(1,0)处的切线，𝑙2为该曲线的另一条切线，且𝑙1⊥𝑙2。求直线𝑙1，𝑙2的方程。例9:已知曲线𝑺𝟏:𝒚=𝒙𝟐与𝑺𝟐:𝒚=−(𝒙−𝟐)𝟐,若直线l与𝑺𝟏,𝑺𝟐均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于𝑷(𝒙𝟏,𝒙𝟏𝟐),l与S2相切于𝑸(𝒙𝟐,−(𝒙𝟐−𝟐)𝟐).对于S1,𝒚′=𝟐𝒙,则与S1相切于P点的切线方程为𝒚−𝒙𝟏𝟐=𝟐𝒙𝟏(𝒙−𝒙𝟏),即𝒚=𝟐𝒙𝟏𝒙−𝒙𝟏𝟐.①对于S2,𝒚′=−𝟐(𝒙−𝟐)与S2相切于Q点的切线方程为𝒚+(𝒙𝟐−𝟐)𝟐=−𝟐(𝒙𝟐−𝟐)(𝒙−𝒙𝟐),即𝒚=−𝟐(𝒙𝟐−𝟐)𝒙+𝒙𝟐𝟐−𝟒.②因为两切线重合,.02204)2(222121222121xxxxxxxx或若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.例10：已知曲线𝑦=13𝑥3+43.（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程。（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程。习题：1.已知函数𝑓(𝑥)在R上满足𝑓𝑥=2𝑓2−𝑥−𝑥2+8𝑥−8.则曲线𝑦=𝑓𝑥在(1,𝑓(1))处的切线方程为________2.已知直线𝑦=𝑥+1与曲线𝑦=ln(𝑥+𝑎)相切，则a的值为_______3.曲线𝑦=sin𝑥sin𝑥+cos𝑥−12在点𝑀(𝜋4,0)处的切线的斜率为________4.若𝑓𝑥=𝑒𝑥+1𝑒𝑥−1，则𝑓′𝑥=___________5.已知函数𝑓(𝑥)＝2𝑥3＋𝑎𝑥与𝑔(𝑥)＝𝑏𝑥2＋𝑐的图象都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式6.已知函数𝑓(𝑥)的导函数𝑓′(𝑥)，且满足𝑓𝑥=3𝑥2+2𝑥𝑓′2，则𝑓′5=_____________7.设𝑓𝑥=𝑥𝑥−1𝑥−2∙∙∙𝑥−𝑛，则𝑓′1=_______𝑓′𝑛=__________8.设函数𝑓𝑥=𝑔𝑥+𝑥2，曲线𝑦=𝑔(𝑥)在点(1,𝑔(1))处的切线方程为𝑦=2𝑥+1，则曲线𝑦=𝑓𝑥在点(1,𝑓(1))处的切线斜率为_______9.直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏与曲线𝑦=𝑥3+𝑎𝑥+1相切与点2,3，则b的值为_______10.函数𝑓𝑥=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑎−3𝑥，若𝑓′(𝑥)是偶函数，则𝑓(𝑥)在原点处的切线为__________11.若𝑓𝑥=𝑥2−2𝑥−4𝑙𝑛𝑥，则𝑓′(𝑥)0的解集为_________