导数的概念与计算练习题带答案

导数概念与计算1．若函数42()fxaxbxc，满足'(1)2f，则'(1)f（）A．1B．2C．2D．02．已知点P在曲线4()fxxx上，曲线在点P处的切线平行于直线30xy，则点P的坐标为（）A．(0,0)B．(1,1)C．(0,1)D．(1,0)3．已知()lnfxxx，若0'()2fx，则0x（）A．2eB．eC．ln22D．ln24．曲线xye在点(0,1)A处的切线斜率为（）A．1B．2C．eD．1e5．设0()sinfxx，10()'()fxfx，21()'()fxfx，…，1()'()nnfxfx，nN，则2013()fx等于（）A．sinxB．sinxC．cosxD．cosx6．已知函数()fx的导函数为'()fx，且满足()2'(1)lnfxxfx，则'(1)f（）A．eB．1C．1D．e7．曲线lnyx在与x轴交点的切线方程为________________．8．过原点作曲线xye的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________．9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：（1）1()2lnfxaxxx（2）2()1xefxax（3）21()ln(1)2fxxaxx（4）cossinyxxx（5）1cosxyxe（6）11xxeye10．已知函数()ln(1)fxxx．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）求证：当1x时，11ln(1)1xxx．11．设函数()bfxaxx，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为74120xy．（Ⅰ）求()fx的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()yfx上任一点处的切线与直线0x和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值．12．设函数2()xxfxxexe．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）若当[2,2]x时，不等式()fxm恒成立，求实数m的取值范围．导数作业1答案——导数概念与计算1．若函数42()fxaxbxc，满足'(1)2f，则'(1)f（）A．1B．2C．2D．0选B．2．已知点P在曲线4()fxxx上，曲线在点P处的切线平行于直线30xy，则点P的坐标为（）A．(0,0)B．(1,1)C．(0,1)D．(1,0)解：由题意知，函数f（x）＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′（x0）＝4x30－1＝3，∴x0＝1，将其代入f（x）中可得P（1,0）．选D．3．已知()lnfxxx，若0'()2fx，则0x（）A．2eB．eC．ln22D．ln2解：f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝lnx＋1，由f′（x0）＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.选B．4．曲线xye在点(0,1)A处的切线斜率为（）A．1B．2C．eD．1e解：∵y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex|x＝0＝e0＝1.选A．5．设0()sinfxx，10()'()fxfx，21()'()fxfx，…，1()'()nnfxfx，nN，则2013()fx等于（）A．sinxB．sinxC．cosxD．cosx解：∵f0（x）＝sinx，f1（x）＝cosx，f2（x）＝－sinx，f3（x）＝－cosx，f4（x）＝sinx，…∴fn（x）＝fn＋4（x），故f2012（x）＝f0（x）＝sinx，∴f2013（x）＝f′2012（x）＝cosx.选C．6．已知函数()fx的导函数为'()fx，且满足()2'(1)lnfxxfx，则'(1)f（）A．eB．1C．1D．e解：由f（x）＝2xf′（1）＋lnx，得f′（x）＝2f′（1）＋1x，∴f′（1）＝2f′（1）＋1，则f′（1）＝－1.选B．7．曲线lnyx在与x轴交点的切线方程为________________．解：由y＝lnx得，y′＝1x，∴y′|x＝1＝1，∴曲线y＝lnx在与x轴交点（1,0）处的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.8．过原点作曲线xye的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________．解：y′＝ex，设切点的坐标为（x0，y0）则y0x0＝ex0，即ex0x0＝ex0，∴x0＝1.因此切点的坐标为（1，e），切线的斜率为e.9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：（1）1()2lnfxaxxx（2）2()1xefxax（3）21()ln(1)2fxxaxx（4）cossinyxxx∵y＝xcosx－sinx，∴y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.（5）1cosxyxe∵y＝xe1－cosx，∴y′＝e1－cosx＋xe1－cosx（sinx）＝（1＋xsinx）e1－cosx.（6）11xxeyey＝ex＋1ex－1＝1＋2ex－1∴y′＝－2ex(ex－1)2＝－2ex(ex－1)2.10．已知函数()ln(1)fxxx．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）求证：当1x时，11ln(1)1xxx．解：（1）函数f（x）的定义域为（－1，＋∞）．f′（x）＝1x＋1－1＝－xx＋1f′（x）与f（x）随x变化情况如下：x（－1,0）0（0，＋∞）f′（x）＋0－f（x）0因此f（x）的递增区间为（－1,0），递减区间为（0，＋∞）．（2）证明由（1）知f（x）≤f（0）．即ln（x＋1）≤x设h（x）＝ln（x＋1）＋1x＋1－1h′（x）＝1x＋1－1x＋2＝xx＋2可判断出h（x）在（－1,0）上递减，在（0，＋∞）上递增．因此h（x）≥h（0）即ln（x＋1）≥1－1x＋1.所以当x－1时1－1x＋1≤ln（x＋1）≤x.11．设函数()bfxaxx，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为74120xy．（Ⅰ）求()fx的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()yfx上任一点处的切线与直线0x和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值．（1）解方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3，当x＝2时，y＝12.又f′（x）＝a＋bx2，于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，解得a＝1，b＝3.故f（x）＝x－3x.（2）证明设P（x0，y0）为曲线上任一点，由f′（x）＝1＋3x2知，曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝1＋3x20（x－x0），即y－x0－3x0＝1＋3x20（x－x0）．令x＝0得，y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0交点坐标为0，－6x0.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0）．所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12－6x0|2x0|＝6.故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.12．设函数2()xxfxxexe．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）若当[2,2]x时，不等式()fxm恒成立，求实数m的取值范围．解（1）函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f′（x）＝2x＋ex－（ex＋xex）＝x（2－ex），x(,0)0(0,ln2)ln2(ln2,)'()fx-0+0-()fx递减极小递增极大递减所以，递增区间为(0,ln2)，递减区间为(,0)和(ln2,)．（2）由（1）可知x2(2,0)0(0,ln2)ln2(ln2,2)2'()fx-0+0-()fx递减极小递增极大递减因为，(0)1f，222(2)4241feee所以，2min()(2)4fxfe故24me．