§5.1-定积分的概念与性质

第五章定积分定积分的概念与性质微积分基本定理定积分的换元积分法定积分的分部积分法定积分的应用广义积分§5.1定积分的概念与性质5.1.1定积分问题举例1.曲边梯形的面积)(xfyxyo)(xfyabxyo,1210bxxxxxxanii(1)分割:).,2,1(ni将区间[a,b]任意分为n个子区间，niiSS1(2)近似：任取],,[1iiixx),,2,1(niiSiixf)((3)作和：iniixf)(1(4)取极限：记},{max1inixxSiniixxf)(lim10分点为：i)(if1x2x3x1ixix1iiixxx设物体作直线运动,已知速度)(tvv],[21TT0)(tv是时间间隔上的,计算在这段时间内物体所经过的路程.连续函数,且若是匀速直线运动，(1)分割:,21101TtttttTnii,1iiittt),,2,1(ni(2)近似：任取],,[1iiittisiitv)(),,2,1(niniiss1(3)作和：iniitv)(1(4)取极限：记},{max1inittsiniittv)(lim10=速度时间路程1t2t1itit1ntit1T2T01lim()niixisfx2.变速直线运动的路程则称函数f(x)在[a,b]上可积,badxxf)(记作:设函数f(x)在[a,b]上有定义,把[a,b]任意分割成n个小区间:,1210bxxxxxxanii);,(2,11nixxxiii任取],[1iiixx),,2,1(ni作和niiixf1;)(记},{max1inixx若极限存在,iniixxf)(lim10此极限值为函数f(x)在[a,b]上的定积分.即iniixxf)(lim10badxxf)(5.1.2定积分的概念定义5.1.1且此极限值与区间[,]ab的分法以及点i的取法无关，6积分号;)(xf被积函数;dxxf)(被积表达式;x积分变量.a——积分下限[,]ab——称为积分区间b积分上限1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程badxxfS)(21)(TTdttvst1T2TiniixxfS)(lim10iniittvs)(lim10)(xfyxyo定积分的几何意义定积分的意义badxxf)(存在,它与区间的分法及点的取法无关.badttf)(baduuf)(注意是指极限iniixxf)(lim10(2).定积分是一个数,与积分变量用什么记号无关.只取决于被积函数和积分区间,0)(aadxxfbadxxf)(;)(abdxxf(3).规定:且只有有限个间断点,结论(1).函数f(x)在[a,b]上可积,1.若函数f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.2.若函数f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.3.若函数f(x)在区间[a,b]上有界,则f(x)在[a,b]上可积.例1.利用定积分定义计算102dxx解把区间[0,1]n等分,,1nxi]1,0[)(2Cxxf,nixi分点为,inixi取),,2,1(niniiixf1)(niix12ininni121niin12316)12)(1(13nnnnniiixxf10)(lim316)12)(1(1lim3nnnnn102dxx存在.102dxxo1xyni2xy性质1.dxxgxfba)]()([babadxxgdxxf)()(可推广到有限多个函数代数和的情形.性质2.badxxkf)(badxxfk)(定积分关于积分区间具有可加性bccabadxxfdxxfdxxf)()()(性质3.说明2121)()()()(ccbccabadxxfdxxfdxxfdxxf(线性性质)5.1.3定积分的基本性质cbbadxxfdxxf)()(cbcadxxfdxxf)()(badxxf)(cadxxf)(xyoabcbca（1）若,由几何意义知,cba（2）若,由(1)知bccadxxfdxxf)()(其他情况类似可证.证badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)().()()(badxxfdxxfbaba性质4.],,[,0)(baxxf若0)(badxxf则推论1.)()(babadxxgdxxf则推论2.badxxf)(性质6.则)(abm)(abM),(min),(max],[],[xfmxfMbaxbax设],[),()(baxxgxf若(保号性)(不等性)abdxdxbaba1性质5.)(abkkdxba(估值定理)oyxabmM1)(2xxf,2m)14(2412)1(dxx651)14(17412)1(dxx例1.估计积分值:解.17142M在[1,4]上的最小值、最大值分别为：412)1(dxx所以例2.比较大小:,).1(212dxx213dxx,ln).2(21xdx212)(lndxx解（1）,32xx212dxx213dxx,)(lnln2xx21lnxdx212)(lndxx因为在[1,2]上,（2）因为在[1,2]上,