函数的连续性与间断点

1第八节函数的连续性与间断点函数的连续(continuity)函数的间断点小结思考题作业(discontinuouspoint)第一章函数与极限2间变化很小时,生物生长的也很少.在函数关系上的反映就是函数的连续性.在自然界中,许多事物的变化是连续的,如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小.时在高等数学中,主要的研究对象就是连续函数.这种现象从直观上不妨这样说,连续函数的特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以一笔画成.函数的连续性与间断点31.函数的增量)()(0xfxfy自变量0x称差0xxx为自变量在,x0x的增量;函数随着从)(0xf),(xf称差)()(00xfxxf为函数的增量.如图:xxx0一、函数的连续性xyOxyO)(xfy0xxx0xy)(0xf0xxx0)(xfyy)(0xfx函数的连续性与间断点4连续,2.连续的定义,0xxx设),()(0xfxfy0x定义1设函数f(x)在)(0xU内有定义,0lim0yx若则称函数f(x)在x0处并称x0为函数f(x)的连续点.,0xx即为0y).()(0xfxf即为定义2若),()(lim00xfxfxx则称函数f(x)在x0处连续.把极限与连续性联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法——只需求出该点函数特定值.自变量在x0点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小.形象地表示了连续性的特征.采用了无穷小定义法充分必要条件函数的连续性与间断点5连续性的三种定义形式不同,这三种定义中都含有但本质相同.f(x)在)(0xU内有定义;(1))(lim0xfxx(2))(lim0xfxx(3))(0xf三个要素:)(,0定义3,0时使当xx,0.)()(0xfxf恒有把极限定义严密化,便于分析论证.存在;函数的连续性与间断点6注一般讲,证明的命题用函数连续的定义1方便;是判断分段函数在分界点处是否连续用判断函数在某点是否连续,尤其定义2方便.某一邻域而言.由上述定义可知,f(x)在x0点的连续性是描述f(x)在x0点邻域的性态的.即它是对因此在孤立点处无连续可言.函数的连续性与间断点7例.),(sin内连续在区间函数证明xy证),,(x任取y)2cos(2sin2xxx1)2cos(xx),(sinxxy对任意函数即内在区间函数),(cosxy)sin(xxxsin都是连续的.类似可证,是连续的.0lim0yx122xx0x即0lim0yx022sinxx函数的连续性与间断点8例0,0,0,0,1sin)(xxxxxxf在证xxx1sinlim0,0)0(f又定义2.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx)(lim0xfxx)(0xf,0试证函数处连续.函数的连续性与间断点93.左、右连续)()(lim000xfxfxx若处在点则称0)(xxf)()(lim000xfxfxx若处在点则称0)(xxf,)()0(00xfxf,)()0(00xfxf左连续(continuityfromthe右连续(continuityfromtheleft);right).0x左连续0x右连续xyOxyO函数的连续性与间断点10定理1处连续在函数0)(xxf处既左连续在函数0)(xxf此定理常用于判定分段函数在分段点.又右连续)()0()0(000xfxfxf处的连续性.函数的连续性与间断点11例,1,1,1,)(2xxxxxf讨论函数解)(lim1xfx2),1(f)(lim1xfx),1(f右不连续..1)(处不连续在点故函数xxf)1(lim1xx1lim21xx1)(xxf在所以左连续,1x在.1处的连续性在xxyO1函数的连续性与间断点124.连续函数(continousfunction)与连续区间上的或称函数在该区间上连续.在区间上每一点都连续的函数,称该区间在开区间),(ba右连续)(lim(xfax)(lim(xfbx左端点ax右端点bx],[)(baCxf这时也称该区间为continuous左连续连续函数,连续区间.),()(baCxf))(af))(bf内连续)(xf函数的连续性与间断点13关于连续函数,有一个对某些问题的推理定理2,0)(,)(00xfxxf且连续在设0x则存在)(xf很有用的定理.的一个邻域,使得在此邻域内是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.连续函数的图形.02)(0xfxyO0x)(0xf2)(0xf函数的连续性与间断点14例如,有理整函数(多项式)内是连续的.因此有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数,),(0xnnxaxaaxP10)(),()()(lim00xPxPxx)()()(xQxPxR只要,0)(0xQ都有)()(lim00xRxRxx因此有理整函数在都是连续的.第五节中已证函数的连续性与间断点15定义4处在若0)(xxf出现如下三种情形之一:处在点0)()1(xxf)(lim)2(0xfxx)(lim)3(0xfxx的为则称)(0xfx二、函数的间断点及其分类无定义;不存在;).(0xf间断点.函数的连续性与间断点16间断点分为两类:第二类间断点(discontinuitypointofthesecondkind):第一类间断点(discontinuitypointofthefirstkind):)0(0xf及)0(0xf均存在,及中至少一个不存在.)0(0xf)0(0xf若称为可去间断点.0x若称为跳跃间断点.0x若其中有一个为振荡,若其中有一个为,称为无穷间断点.0x称为振荡间断点.0x函数的连续性与间断点,)0(0xf17例,1)(xxf函数xxf1)(由于函数处在0)(xxf无定义,,)(0处无定义在点xxf.)(0的间断点为则称xfx0x故为f(x)的间断点.)(lim0xfx)(lim0xfx且皆不存在.第二类第二类间断点:),0(0xf)0(0xf至少有之中有若)0(),0(00xfxf.0称为无穷型间断点则xx且是无穷型间断点.一个不存在.,一个为,xyO函数的连续性与间断点18例,0,0,0,1sin)(xxxxf函数处在0)(xxf有定义,xx1sinlim0不存在,0x故为f(x)的间断点..)(0的间断点为则称xfx,)(lim0不存在xfxx第二类且是无穷次振荡型间断点.在时但当xx1sin,01,1xy1sin之间来回无穷次振荡,xyO函数的连续性与间断点19例,0,1,0,)(xxxxxf函数),00()00(ff处在0)(xxf有定义,0)(lim0xx1)1(lim0xx.)(0的间断点为则称xfx,)(lim0不存在xfxx0x故为f(x)的间断点.第一类的第一类间断点.),0()0(00xfxf但则点x0为函数f(x)的且是跳跃间断点.跳跃型间断点(Jumpdiscontinuity).)0(0xf及)0(0xf均存在,则点x0为)(xfxyO函数的连续性与间断点120函数的连续性与间断点例.1,1,11,10,1,2)(处的连续性在xxxxxxxf讨论函数解,2)01(f,2)01(f2)(lim1xfx),1(f1x),()(lim00xfxfxx.)(0的间断点为则称xfx为函数的间断点.第一类且是可去间断点(removablediscontinuity).2)1(f,1,1,10,2)(xxxxxf则连续.1)1(f,)(0处的极限存在在点如果xxf)()(lim00xfxfxx但0)(xxf在点或的为函数则称点)(0xfx处无定义,可去间断点.xyO112xy2xy1处在1x21则可使x0变为连续点.注对可去间断点x0,如果,)(lim0Axfxx设于A,(这就是为什么将这种间断点称为使之等可去间断点的理由.)补充x0的函数值,或改变函数的连续性与间断点22,1112处没有定义在点函数xxxy11lim21xxx如补充定义:,2)1(f令.1处连续所给函数在则x.1称为函数的可去间断点所以x.1,不连续函数在点所以x如21lim1xx但xyO112函数的连续性与间断点23总结两类间断点:第一类间断点:跳跃型,第二类间断点:无穷型,可去型无穷次振荡型极限与连续之间的关系:f(x)在x0点连续f(x)在x0点存在极限函数的连续性与间断点24,11)(1的间断点求函数xxexf解函数无定义,,1,0时当xx是函数的间断点.,0x)(lim0xfx由于xxex111lim0,所以0x是函数的第二类间断点,且是无穷型.,1x由于)(limxfxxex111lim10)(limxfxxex111lim11所以1x是函数的第一类间断点,且是跳跃型.并指出其类型.001x1x11函数的连续性与间断点25设01sin00sin)(xxxbxaxxxxf,,为何值时问ba;)(lim)1(0存在xfx.0)()2(处连续在xxf解因为)(lim0xfx)(lim0xfx所以)1(,)(lim0存在要xfx必需且只需)(lim0xfx),(lim0xfx即1b).(可任取a)2(,0)(处连续在要xxf必需且只需)(lim0xfx)(lim0xfx),0(f即.1ba,1,b函数的连续性与间断点26(见下图)无穷型,无穷次振荡型三、小结1.函数在一点连续的三个定义、必须满足的2.区间上的连续函数;3.函数间断点的分类:间断点第一类间断点:跳跃型,可去型第二类间断点:函数的连续性与间断点三个条件;27可去型第一类间断点跳跃型无穷型无穷次振荡型第二类间断点xyO0x0xxyOxyOxyO0x函数的连续性与间断点28思考题,)(0点连续在若xxf,|)(|0点连续在若xxf?|)(|0点也连续是否在xxf?)(0点是否也连续在xxf(是非题)非如,0,1;0,1)(xxxf1|)(|xf处处连续.但处在0)(xxf不连续.是)()(0xfxf)()(0xfxf函数的连续性与间断点29作业习题1-8(64页)2.(1)(2)(3)(4)3.函数的连续性与间断点