高中数学复合函数练习题

1第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知fx()的定义域，求fgx()的定义域思路：设函数fx()的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对gx()作用，作用范围不变，所以Dxg)(，解得xE，E为fgx()的定义域。例1.设函数fu()的定义域为（0，1），则函数fx(ln)的定义域为_____________。解析：函数fu()的定义域为（0，1）即u()01，，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以01lnx解得xe()1，，故函数fx(ln)的定义域为（1，e）例2.若函数fxx()11，则函数ffx()的定义域为______________。解析：由fxx()11，知x1即f的作用范围为xRx|1，又f对f(x)作用所以fxRfx()()且1，即ffx()中x应满足xfx11()xRxx|12且（2）、已知fgx()的定义域，求fx()的定义域思路：设fgx()的定义域为D，即xD，由此得gxE()，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xEE，为fx()的定义域。例3.已知fx()32的定义域为x12，，则函数fx()的定义域为_________。解析：fx()32的定义域为12，，即x12，，由此得3215x，即函数fx()的定义域为15，例4.已知fxxx()lg22248，则函数fx()的定义域为______________。解析：先求f的作用范围，由fxxx()lg22248，知xx2280fx()的定义域为2()4，（3）、已知fgx()的定义域，求fhx()的定义域思路：设fgx()的定义域为D，即xD，由此得gxE()，f的作用范围为E，又f对hx()作用，作用范围不变，所以hxE()，解得xF，F为fhx()的定义域。例5.若函数fx()2的定义域为11，，则fx(log)2的定义域为____________。解析：fx()2的定义域为11，，即x11，，由此得2122x，f的作用范围为122，又f对log2x作用，所以log2122x，，解得x24，即fx(log)2的定义域为24，（二）同步练习：1、已知函数)x(f的定义域为]1,0[，求函数)x(f2的定义域。答案：]1,1[2、已知函数)x23(f的定义域为]3,3[，求)x(f的定义域。答案：]9,3[3、已知函数)2x(fy的定义域为)0,1(，求|)1x2(|f的定义域。答案：)23,1()0,21(三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数))((xgfy.若)(xgu在区间ba,(）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.证明：在区间ba,(）内任取两个数21,xx，使bxxa21因为)(xgu在区间ba,(）上是减函数，所以)()(21xgxg,记)(11xgu,)(22xgu即),(,21,21dcuuuu且因为函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21ufuf,即))(())((21xgfxgf，故函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.（2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：3)(ufy增↗减↘)(xgu增↗减↘增↗减↘))((xgfy增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数))((xgfy的单调性判断步骤：ⅰ确定函数的定义域；ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：)(ufy与)(xgu。ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((xgfy为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((xgfy为减函数。（4）例题演练例1、求函数)32(log221xxy的单调区间，并用单调定义给予证明奎屯王新敞新疆解：定义域130322xxxx或。单调减区间是),3(设2121),3(,xxxx且则)32(log121211xxy)32(log222212xxy)32(121xx)32(222xx=)2)((1212xxxx∵312xx∴012xx0212xx∴)32(121xx)32(222xx又底数1210∴012yy即12yy∴y在),3(上是减函数奎屯王新敞新疆同理可证：y在)1,(上是增函数奎屯王新敞新疆［例］2、讨论函数)123(log)(2xxxfa的单调性.［解］由01232xx得函数的定义域为}.31,1|{xxx或则当1a时，若1x，∵1232xxu为增函数，∴)123(log)(2xxxfa为增函数.若31x，∵1232xxu为减函数.∴)123(log)(2xxxfa为减函数。当10a时，若1x，则)123(log)(2xxxfa为减函数，若31x，则)123(log)(2xxxfa为增函数.（5）同步练习：41．函数y＝21log（x2－3x＋2）的单调递减区间是（）A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，23）D．（23，＋∞）答案：B2找出下列函数的单调区间.（1）)1(232aayxx；（2）.2322xxy答案：(1)在]23,(上是增函数，在),23[上是减函数。（2）单调增区间是]1,1[，减区间是]3,1[。3、讨论)0,0(),1(logaaayxa且的单调性。答案：,1a时),0(为增函数，01a时，)0,(为增函数。变式练习一、选择题1．函数f（x）＝)1(log21－x的定义域是（）A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．]21(，解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以0)1(log0121－＞－xx解得1＜x≤2．答案：D2．函数y＝21log（x2－3x＋2）的单调递减区间是（）A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，23）D．（23，＋∞）解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝21log（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．答案：B3．若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，则xy的值为（）A．4B．1或41C．1或4D．41错解：由2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有xy＝41或yx＝1．答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．答案：D4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝a2log（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（）5A．（0，21）B．（0，21）C．（21，＋∞）D．（0，＋∞）解析：因为x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．当f（x）＞0时，根据图象只有0＜2a＜l，解得0＜a＜21（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．答案：A5．函数y＝lg（x－12－1）的图象关于（）A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称解析：y＝lg（x－12－1）＝xx－＋11lg，所以为奇函数．形如y＝xx－＋11lg或y＝xx－＋11lg的函数都为奇函数．答案：C二、填空题已知y＝alog（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是减函数，要使y＝alog（2－ax）是减函数，则a＞1，又2－ax＞0a＜32（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．答案：a∈（1，2）7．函数f（x）的图象与g（x）＝（31）x的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）的单调递减区间为______．解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）＝31logx则f（2x－x2）＝31log（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．（x）＝2x－x2在（0，1）上单调递增，则f［（x）］在（0，1）上单调递减；（x）＝2x－x2在（1，2）上单调递减，则f［（x）］在［1，2）上单调递增．所以f（2x－x2）的单调递减区间为（0，1）．答案：（0，1）8．已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（21）＝0，则不等式f（log4x）的解集是______．解析：因为f（x）是偶函数，所以f（－21）＝f（21）＝0．又f（x）在［0，＋∞］上是增函数，所以f（x）在（－∞，0）上是减函数．所以f（log4x）＞0log4x＞21或log4x＜－21．解得x＞2或0＜x＜21．答案：x＞2或0＜x＜21三、解答题10．设函数f（x）＝532＋x＋xx2323lg＋－，（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；（3）已知函数f（x）的反函数f－1（x），问函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．6解：（1）由3x＋5≠0且xx2323＋－＞0，解得x≠－35且－23＜x＜23．取交集得－23＜x＜23．（2）令（x）＝3x＋5，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；xx2323＋－＝－1＋x236＋随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．又y＝lgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y＝xx2323lg＋－是减函数，所以f（x）＝532＋x＋xx2323lg＋－是减函数．（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．设函数f（x）的反函数f－1（x）与工轴的交点为（x0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0＝52．所以函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点，交点为（52，0）。一．指数函数与对数函数．同底的指数函数xya与对数函数logayx互为反函数；（二）主要方法：1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3．比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．（三）例题分析：例1．（1）若21aba，则logbba，logba，logab从小到大依次为；（2）若235xyz，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为；（3）设0x，且1xxab（0a，0b），则a与b的大小关系是（）（A）1ba（B）1ab（C）1ba（D）1ab解：（1）由21aba得baa，故logbbalogba1logab．（2）令235xyzt，则1t，lglg2tx，lglg3ty，lglg5tz，∴2lg3lglg(lg9lg8)230lg2lg3lg2lg3tt