初二数学-八年级数学动点问题专项训练

动点问题专项训练1.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．【答案】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°。∵∠BQD=30°，∴∠QCP=90°。设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+C=6+x。∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=12QC，即6﹣x=12（6+x），解得x=2。∴当∠BQD=30°时，AP=2。（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF。∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°。∵点P、Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ。∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°。∴在△APE和△BQF中，∵∠A=∠FBQ，AP=BQ，∠AEP=∠BFQ=90°，∴△APE≌△BQF（AAS）。∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF。∴四边形PEQF是平行四边形。∴DE=12EF。∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=12AB。又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3。∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。2.如图，已知一次函数1ykxb的图象与x轴相交于点A，与反比例函数2cyx的图象相交于B（－1，5）、C（25，d）两点．点P（m，n）是一次函数1ykxb的图象上的动点．（1）求k、b的值；（2）设31m2，过点P作x轴的平行线与函数2cyx的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设m1a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）将点B的坐标代入2cyx，得c51，解得c=5。∴反比例函数解析式为25yx。将点C（52，d）的坐标代入25yx，得5d=252。∴C（52，－2）。∵一次函数1ykxb的图象经过B（－1，5）、C（52，－2）两点，∴5kb52kb2，解得k=2b=3。（2）存在。令1y0，即2x30，解得3x2。∴A（32，0）。由题意，点P（m，n）是一次函数1y2x3的图象上的动点，且31m2∴点P在线段AB上运动（不含A、B）。设P（3nn2，）。∵DP∥x轴，且点D在25yx的图象上，∴DPD5yynx=n，，即D（5nn，）。∴△PAD的面积为2113n51349SPDOP=+n=n+222n4216。∴S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。又∵n=2m3，31m2，得0n5，而30n=52。∴当3n=2时，即P（3342，）时，△PAD的面积S最大，为4916。（3）由已知，P（1a,2a+1）。易知m≠n，即1a2a+1，即a0。若a0，则m1n。由题设，m0n2，，解出不等式组的解为10a2。若a0，则n1m。由题设，n0m2，，解出不等式组的解为1a02。综上所述，数a的取值范围为1a02，10a2。【考点】反比例函数和一次函数综合问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，二次函数的性质，不等式组的应用。【分析】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，由B的坐标求得c=5，从而得到25yx；由点C在25yx上求得d2，即得点C的坐标；由点B、C在1ykxb上，得方程组，解出即可求得k、b的值。（2）求出△PAD的面积S关于n的二次函数（也可求出关于m），应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点P的坐标。（3）由m≠n得到a0。分a0和a0两种情况求解。3.如图，已知双曲线kyx，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【答案】解：（1）∵双曲线kyx经过点D（6，1），∴k16，解得k=6。（2）设点C到BD的距离为h，∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，∴BD=6，∴S△BCD=12×6•h=12，解得h=4。∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1－4=－3。∴63x，解得x=－2。∴点C的坐标为（－2，－3）。设直线CD的解析式为y=kx＋b，则2kb36kb1，解得1k2b2。∴直线CD的解析式为1yx22。（3）AB∥CD。理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点C的坐标为（－2，－3），点D的坐标为（6，1），∴点A、B的坐标分别为A（－2，0），B（0，1）。设直线AB的解析式为y=mx+n，则2mn0n1，解得1m2n1。∴直线AB的解析式为1yx12。∵AB、CD的解析式k都等于12相等。∴AB与CD的位置关系是AB∥CD。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的判定。【分析】（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解。（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答。（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行。