(三)圆锥曲线中的证明问题

1热点三圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．[例1]．(2013·全国高考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．——————————规律·总结———————————————————————圆锥曲线中的证明问题的解决方法解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．常用的证明方法有：(1)证A、B、C三点共线，可证kAB＝kAC或AB＝λBC；(2)证直线MA⊥MB，可证kMA·kMB＝－1或MA·MB＝0；(3)证|AB|＝|AC|，可证A点在线段BC的垂直平分线上．2[例2]．如图，F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝a2c于点Q.(1)若点Q的坐标为(4,4)，求椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．3练习：1.已知直线10xy经过椭圆S：22221(0)xyabab的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．①若直线PA平分线段MN，求k的值；②对任意0k，求证：PAPB．PABCxyOMN42.过双曲线2x2y2=1上一点A(1,1)作两条动弦AB,AC,且直线AB,AC的斜率的乘积为3.(1)问直线BC是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线BC的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由.(2)证明直线BC过定点.53.已知双曲线E：222104xyaa的中心为原点O，左，右焦点分别为1F，2F，离心率为355，点P是直线23ax上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足220PFQF．（1）求实数a的值；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足PMMHPNHN，证明点H恒在一条定直线上．