函数的凹凸性-拐点与图形描绘

1如果我们接受某条信息时，和我们头脑中已有的信息有密切的联系，就好像往仓库中放东西时作了许多的标记，寻找时就比较容易。可见，有效地提取信息，是记忆的核心。而有效提取的关键，是接收信息时“做好标记”。2第七节曲线的凹凸与拐点ABCD弧ACB与弧ADB的凹向不同。ab31.凹凸性的定义恒有若上连续在区间设,Ix,x,Ixf21上的图形是凹的；在则称Ixf221xfxf221xxf恒有若上连续在区间设,Ix,x,Ixf21上的图形是凸的；在则称Ixf221xfxf221xxf221xxf221xfxf1x2x1xf2xf221xfxf221xxf1x2x2xf1xf4若在某一区间内，函数图像总在曲线上任一点切线的上方，则称曲线在这区间内是凹的；直观观察单调增加xf0xf),(')(')('321xfxfxf单调减少xf0xf),(')(')('321xfxfxf在有些教材中，凹的（曲线）又叫“上凹”，凸的又叫“下凹”。下方凸的1x2x3x1x2x3x321tantantan321tantantan52.判定定理:,,,内具有一阶和二阶导数上连续，在在设babaxf上的图形是凹的；在则内，若在baxfxfba,,0,1上的图形是凸的。在则内，若在baxfxfba,,0,2证明对于（1），设,,,21baxx且,21xx记,2210xxx,1002hxxxx并记则,,0102hxxhxx.10,;10,2200011000hhxfhxfxfhhxfxfhxf上面两式相减，得,22010000hhxfhxfxfhxfhxf在0000,,xhxhxx及上用拉格朗日中值定理，得对xf.0h63、判定函数曲线凹凸的步骤:（1）确定函数y=f(x)的定义域；（2）求f”(x),找出使f”(x)=0和f”(x)不存在的点xi；（3）用xi把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线的凹凸。例1..ln的凹凸性判断xy,1xy.012xy,0，定义域.曲线是凸的解对xf在hxhx1020,用拉格朗日中值定理，得hxhxhfhhxfhxf10202212010,由假设,0f.02000xfhxfhxf因此即0002xfhxfhxf222121xxfxfxf7例2..3的凹凸性判断xy,32xy且,6xy.0,00上是凹的，曲线在时，yx上是凸的；曲线在时，0,,00yx解.0,03的拐点是点xy拐点：曲线由凸变凹（或由凹变凸）的分界点。（1）拐点是曲线上的点，应由一个坐标表示（x0,f(x0)）.（2）前面讲过的极值点，是取得极值时自变量的值，记为x=xi两者不同。驻点是方程的根。（4）作业中常见记法的错误：注意：.00;043的极值点是，或的拐点是xyxyx,,定义域：.00yx时，当0)(xf8例3..14334的拐点及凹凸的区间求xxy,121223xxyxxy243623236xx,0y令.322x,01x得解0,032,032,3200xyy曲线.2711,32,1,0是拐点2711,321,0内是凸的。，内是凹的；在，，，函数在320320,,定义域：9例4.是否有拐点？问曲线4xy,x'y34.xy212,00yx时，显然当但当时，总有0x.y0因此，（0，0）不是这曲线的拐点。即）内是凹的。，没有拐点，且它在（曲线4xy解,,定义域：10例5求曲线3xy的拐点。解当0x时，,xxy,x'y32329231当0x时，y'y，都不存在。所以，y在不连续且不具有零点。),(但0x把),(分成两个部分区间：.,，、00),0,(x,y0曲线在0,上是凹的。),,0(x,y0)0，［曲线在上是凸的。则)0,0(点是曲线的拐点。下面的点可能对应着曲线的拐点：（1）（2）;0的点使y不存在的点。使y,,定义域：11例6设xfy在0xx的某邻域内具有三阶连续的导数，如果,0,0,0000xfxfxf而试问0xx是否为极值点？为什么？又00,xfx是否为拐点？为什么？解由于xfy在0xx的某邻域内具有三阶连续的导数，则,0lim00xfxfxx不妨设,00xf由保号性定理，.0,,00xfxUx时，使得当即在此区域内，xf单调增加。而,00xf因此.0,0,0000xfxxxxfxxx时，；当时，当因此，00,xfx是拐点。。必有且单调减少，时，又当0,0,0,000xfxfxfxfxxx。必有且单调增加，时，当0,0,0,000xfxfxfxfxxx因此0xx不是极值点。12第八节函数图形的描绘1.一般步骤:.xfxfxfy、奇偶性；求出的定义域，考察函数的确定.,,0,0的点不存在及的全部实根求出xfxfxfxf.的性质列表讨论xf.以及其它变化趋势确定水平、铅直渐近线.描点作图.分为几个部分区间并用这些点把定义域划;区间加点与坐标轴的交点、较长补充一些点些，还需的坐标，为使图形准确极值点、拐点求出分界点(1)(2)(3)(4)(5)(6)13（4）第四行曲线y=f(x)，用适当凹向的带箭头的曲线，表明函数在相应区间的大体形态；注意，箭头方向是：箭尾在左，箭头在右；2、关于函数形态表的说明（P119表格）（1）第一行x，由左至右按照从小到大列出小区间和它们的分界点；（3）第三行y”，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相应的导数值；以下表示不正确（2）第二行y’，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相应的导数值；143、曲线的渐近线(1)、水平渐近线的一条水平渐近线是函数则），（或若)()(lim)(lim,)(limxfyCyCxfCxfCxfxxx(2)、垂直渐近线的一条铅直渐近线。是函数则）；（或若)()(lim)(lim)(lim000000xfyxxxfxfxfxxxxxxCxyOxyOx015(3)、斜渐近线axxfbxxfaxfybaxybaxxfxxxxx)(lim)(lim)(limlim0)()(lim；其中，的一条斜渐近线。是函数则），（或若的斜渐近线。（略）可以试求xxy1216解例1..123的图形画出xxxy1232xxy113xx26xy132x,1,31,0221xxy得令列表讨论3;,1定义域,31,03xy得令4、应用举例：+0－x)('xf)(xf的图形)(xfy31,1,311,1－－0+－－－+++0极大值拐点极小值3131,313117111.,,4yxyx时；时,f,f2716312732315,f,f,f85231001另外0)1(f得到函数图形上三个点:），）、（，）、（（01271631273231,辅助点:)8523()10()01(，、，、，11lim02030230xxxxxxxx所以该曲线既无水平渐近线，也无铅直渐近线。)01(，)10(，2732,31），（01271631，18例2.解.eyx的图形画出2221,x,y,x,y10002得令得令定义域,,1.,xf0只需讨论为偶函数，,2122xxey,121222xeyxx)('xf)(xf的图形)(xfy0(0,1)1(1,+∞）0－－－－－0+极大拐点19.0为水平渐近线y,ef,f2112105,2122ef另外得到曲线上的两个点:），）、（（e,211210加辅助点。)21,2(2e112021lim422xxex)('xf)(xf的图形)(xfy0(0,1)1(1,+∞）0－－－－－0+极大拐点20例3解定义域.,,331.33612的图形画出xxy处，函数没有定义。在得令得令3;6,0;3,02xxyxy列表讨论3.xxy33336.xxy43672x)('xf)(xf的图形)(xfy)3,()3,3(3)6,3(6),6(－－－－－－－－++00极大值拐点21.41115,89,8110ffff另外,f,f31164351y曲线有水平渐近线：3x曲线有铅直渐近线：得曲线上的点:），）、（，（311643辅助点:），）、（，）、（，）、（，（411158981103x1y13361lim42xxx233361limxxx又），（43），（3116），（10x)('xf)(xf的图形)(xfy)3,()3,3(3)6,3(6),6(－－－－－－－－++00极大值拐点