圆锥曲线综合问题之证明

第1页总结交流提高2016寒假高二数学巩固1．已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为2(1,0)F，点)0,3(H在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆222xyb上，且M在第一象限，过M作圆222xyb的切线交椭圆于P,Q两点，求证：△2PFQ的周长是定值．2．已知和是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在该椭圆上，且轴．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点作直线交椭圆于不同的两点，证明：不存在直线，使得．3．已知椭圆，直线(m+3)x+(1-2m)y-m-3=0恒过的定点F为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点F的最大距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线MN为垂直于x轴的动弦，且M，N均在椭圆C上，定点T(4,0)，直线MF与直线NT交于点S．①证：点S恒在椭圆C上；②求△MST面积的最大值．4．已知A、B分别是椭圆的左右顶点，右焦点与抛物线的焦点F重合．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ垂直于AP，并交直线l于点Q，证明：Q、P、B三点共线．1F2F22221(0)xyababO21,2P1PFx(2,0)Al,BCl22||||BFCF)0(1:2222babyaxC)(Rm)0(1:2222babyaxCxy42第2页5．已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．（I）求椭圆的标准方程；（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于A、B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值．6．如图，,AB是椭圆2222:1(0)xyCabab的左右顶点，M是椭圆上异于,AB的任意一点，若椭圆C的离心率为12，且右准线l的方程为4x（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交直线MB于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求出R点的坐标．7．如图，直角坐标系中，一直角三角形，，,BC在轴上且关于原点O对称，D在边上，14CDBC，ABC的周长为12．若一双曲线以,BC为焦点，且经过,AD两点．（1）求双曲线的方程；（2）若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且MPPN，问在x轴上是否存在定点G，使()BCGMGN？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．22221(0,0)xyabab1224yxxOyABC90CxBCEE(,0)PmmlE第3页总结交流提高8．已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的一条渐近线为3yx，右焦点F到直线2axc的距离为32．（1）求双曲线C的方程；（2）斜率为1且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点，已知，若1BFDF证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．9．如图，已知椭圆22221(0)xyabab＞＞的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,FF为顶点的三角形的周长为4(21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为BA、和CD、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF、2PF的斜率分别为1k、2k，证明12·1kk；（Ⅲ）探究11ABCD是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.10．已知点1F、2F为双曲线C：2221yxb(0)b的左、右焦点，过2F作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且3021FMF，圆O的方程是222xyb.（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P、2P，求12PPPP的值；（3）过圆O上任意一点00(,)Qxy作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为D，求证:2ABOD.y0lCBD(1,0)A第4页xMNClAyOB11．已知抛物线C：xy42，P为C上一点且纵坐标为2，Q，R是C上的两个动点，且PRPQ．（1）求过点P，且与C恰有一个公共点的直线l的方程；（2）求证：QR过定点．12．如图，已知抛物线xy42的焦点为F.过点)02(，P的直线交抛物线于A),(11yx，B),(22yx两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．（Ⅰ）求21yy的值；（Ⅱ）记直线MN的斜率为1k，直线AB的斜率为2k证明：21kk为定值13．在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线，切点为（异于点O），直线过点与抛物线交于两点，，与直线交于点．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．14．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．xOy22(0)ypxp=14x=-(0,2)M-MAAlMBCOANMNMNMBMCF2:2(0)Eypxp(2,)AmE3AFE(1,0)GAFEBFGAGB第1页2016圆锥曲线问题——证明参考答案1．（1）22198xy；（2）△2PFQ的周长是定值6．试题解析：（1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是12(1,0),(1,0),1FFc(3,0)H在椭圆上，122||||426aHFHF3,22ab椭圆的方程是22198xy；（2）方法1：设1122,,(,)PxyQxy，则2211198xy，22222112111118(1)(3)93xxPFxyx，∵103x，∴1233xPF，在圆中，M是切点，∴222222111111||||88(1)893xPMOPOMxyxx，∴211113333PFPMxx，同理23QFQM，∴22336FPFQPQ，因此△2PFQ的周长是定值6．方法2：设PQ的方程为(0,0),ykxmkm1122(,),(,),PxyQxy由22,198ykxmxy得222(89)189720kxkmxm则212122218972,8989kmmxxxxkk222121212||1||1()4PQkxxkxxxx22222189721()48989kmmkkk22222498(98)1(89)kmkkPQ与圆228xy相切222,1mk即2221,mk26||89kmPQk答案第2页，总12页∵22222112111118(1)(3)93xxPFxyx，∵103x，∴1233xPF，同理2221(9)333xQFx，∴，因此△的周长是定值6．考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，函数与方程的思想方法．【方法点晴】（1）求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，有时可以利用椭圆的定义简化运算，提高解题速度；（2）在研究直线与圆锥曲线位置关系中的定值问题，通常是把待证的量用直线与圆锥曲线的两个交点坐标表示出来，先选取合理的参数，联立并整理方程组用韦达定理把两点坐标的和、积表示出来，代入整理，直接得到定值或者构造关于参数的函数关系式，用函数的知识求得定值．2．（1）；（2）证明见解析.试题解析：（1）轴，且，解得，椭圆的标准方程为．（2）当直线轴时，直线的方程为，与椭圆无交点，不合题意，舍去．当直线不垂直轴时，设直线的方程为由消去得，依题意得，得．设，，则，，设中点为，则，，，假设，则，即12222226666663898989xxkmkmkmFPFQPQkkk2PFQ2212xy1PFx2(1,)2P2221221cbaab2221ab2212xylxl2xlxl(2)ykx(0)k22(2)12ykxxyy2222(12)8820kxkxk422644(12)(82)0kkk2222k11(,)Bxy22(,)Cxy2122812kxxk21228212kxxkBC00(,)Rxy212024212xxkxk0022(2)12kykxk20202121FRykkxk22BFCF2FRBC22221kk第3页但是不可能成立，所以不存在直线，使得．考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系.3．（1）；（2）①证明见解析，②△MST面积的最大值．试题解析：直线可化为，由得，∴F(1,0)，∴∴．∴椭圆的方程为．（2）①设直线MN的方程为x=s，则可设M(s,t)，N(s,-t)，且．直线MF的方程为，直线NT的方程为．联立求得交点，代入椭圆方程得，，化简得：．∴点S恒在椭圆C上．②直线MS过点F(1,0)，设其方程为，，，联立，得：，∴，．．令，则．∵在上是增函数，∴的最小值为10．∴．考点：1、直线系方程；2、椭圆的简单几何性质；3、直线与圆锥曲线的位置关系4、函数的最值．【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆的简单几何性质求椭圆方程，及直线恒过定点，动直线交点恒在椭圆上和利用函数求三角形面积最大值问题，属于难题．求动点恒在椭圆上，只需将动点坐标求出，利用已知条件证明坐标满足方程即可，表示三角形面积时经常使用分割的方式，易于转换成含有的形式表示面积，从而可与根据直线与圆锥曲线的位置关系求得，建立关系，在求面积最值时可综合考虑函数性质或均值不等式．22221kkl22BFCF13422yx9231230mxmym)(Rm21330mxyxy033012yxyx01yx132caca，又，，3222cab13422yx124322ts)1(1xsty)4(4xsty)523,5285(stssS124322yx222)52(1236)85(3sts124322ts1xmy),(11yxM),(22yxS1243122yxmyx096)43(22myym436221mmyy439221myy2222122112)431184)(23321mmyyyyyySMST（△)1(12umu6191)13()43(12222uuuummuu19),1[uu19294118MSTS△21yy12yy12yy答案第4页，总12页4．（1）;（2）见解析．试题解析：（1）抛物线的焦点，∵，∴，∴，∴椭圆方程为．（2）由（1）知直线的方程为，∵点P异于A，B，∴直线AP的斜率存在且不为0，设AP的方程为，联立得，，∴，．又∵QF⊥AP，，∴直线QF的方程为，联立，解得交点，，，即，有公共点Q，所以Q，P，B三点共线．考点：1．椭圆的标准方程与几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．证明三点共线．【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单，但要注意直线与椭圆必须有两个公共点．5．（I）；试题解析：解：（Ⅰ）由得，故．13422yx(1,0)F21e2a3222cab13422yxl2x)0)(2(