反应谱及其工程应用

反应谱及其工程应用薄景山(中国地震局工程力学研究所，哈尔滨，150080)下一页上一页一、地震作用和结构抗震验算1.地震作用地震时，由地面运动对结构引起的动态作用叫地震作用弹性地震作用塑性地震作用假想弹性地震作用设计地震作用下一页上一页2.结构抗震验算等效荷载法：底部剪力法，振型分解反应谱法。时程分析法举例：水平地震作用下，底部剪力法。把每层楼简化为一等效总荷载为单质点，则水平地震力FEk的表达式为：eqEkGF1下一页上一页)2,1()1(1niFHGHGFnEknjjjiiiEknnFF式中：—结构总水平地震作用标准值；—相应于结构基本自振周期的水平地震影响系数值，多层砌体房屋、底层框架和多层内框架砖房，可取水平地震影响系数最大值；—结构等效总重力荷载，单质点应取总重力荷载代表值，多质点可取总重力荷载代表值的85%；—质点i的水平地震作用标准值；—分别为集中于质点i,j的重力荷载代表值；EkF1eqGiFjiGG,下一页上一页—分别为质点i,j的计算高度；—顶部附加地震作用系数，多层钢筋混凝土房屋可按表1采用，多层内框架砖房可采用0.2，其它房屋可不考虑；—顶部附加水平地震作用。nnFTg(s)T11.4TgT1≤1.4Tg≤0.250.08T1+0.070.3～0.40.08T1+0.07≥0.550.08T1-0.02不考虑Fn+ΔFnGiGiGjFEkHiHj图1结构水平地震作用计算简图jiHH,表1顶部附加地震作用系数下一页上一页3.α值的确定α称为地震影响系数，由规范规定的曲线确定地震影响系数:动力系数:地震系数:为我们通常意义上的反应谱地面运动加速度最大值max0xSaKgSagxKmax0aSmax0x下一页上一页图2为单质点自由度体系的力学模型。对该模型进行受力分析。二、反应谱的概念x0(t)x(t))(0txmsID下一页上一页x0(t)：地面位移，x(t)：质点相对地面的位移（相对位移）[x0(t)+x(t)]：质点的绝对位移。惯性力：弹性恢复力：阻尼力：)]()([0txtxmI)(tKxS)(txcD下一页上一页D’Alembert原理：对具有加速度的运动物体，只要考虑它含惯性力在内的力平衡，就可能将动力问题当成静力平衡问题来处理，这一原理称为达良贝尔原理。就是物体运动的任一瞬间，作用在物体上的外力和惯性力相互平衡。0)()()]()([000tKxtxctxtxmDSIFmamaF下一页上一页1.单质点的运动方程单质点（质量为m），单自由度的弹性体系在地面发生的位移为x0(t)，质点相对地面的位移为x(t)，质点的运动方程可以通过质点的受力分析，利用D’Alembert原理得到：（2-1）式中：m—质点的质量c—结构的阻尼系数k—支持质点的弹性杆的刚度x(t)—质点对地面的相对位移x0(t)—地面发生的位移)()()()(0txmtkxtxctxm下一页上一页(2-1)式可简化为：（2-2）式中：称为质点振动的圆频率称为结构的阻尼比，是结构的阻尼系数与其临界阻尼系数之比。式(2-2)为一常系数的二阶非齐次微分方程，其通解由两部分组成，一为齐次解，一为特解。根据自由振动方程可以得到齐次解；利用瞬时冲量引起的自由振动，由Duhamel积分可以得到特解，由此可以得到单质点弹性体系对地震动的相对位移反应[x(t)],相对速度反应和绝对加速度反应。022xxxhxmk/kmcmch22)]([tx)]()()([0txtxta下一页上一页tdthddtextx0)(0)(sin)(1)(02)(0)](sin1)([cos)()(tdthdthhtdextxtddthddthhthhexta0222)(0)(cos12)(sin11)()((2-3)(2-4)(2-5)式中：称为阻尼固有圆频率。在实际结构中，h的数值很小(h1)，因此，有阻尼频率ωd与无阻尼频率ω相差不大,实际计算中可近似地取，T为自振周期。由此，公式(2-3)、公式(2-4)和公式(2-5)可写成如下形式：21hdTd/2下一页上一页ttThdtTexTtx0)(20)(2sin)(2)(ttThdtTextx0)(20)(2cos)()(ttThdtTexTta0)(20)(2sin)(2)((2-6)(2-7)(2-8)下一页上一页2.反应谱的概念及求法从(2-6)、(2-7)和(2-8)式可以看出，和都是t,T和h的函数，而且是随时间t不断地变化的。从结构设计的角度出发，人们关心的是反应的最大值而不是随时间变化的反应形式。若设地震时，单质点系所产生的最大相对位移、最大相对速度及最大绝对加速度分别为Sd、Sv和Sa，则：)(),(txtx)(tamax0)(20max)(2sin)(2)(ttThddtTexTtxSmax0)(20max)(2cos)()(ttThvdtTextxSmax0)(20max)(2sin)(2)(ttThadtTexTtaS（2-9）(2-10)(2-11)下一页上一页以阻尼比h为参数，利用式(2-9)、式(2-10)和式(2-11)，把函数Sd(h,T),Sv(h,T)和Sa(h,T)针对一定阻尼固有周期T画成图形,则它们分别称为相对位移反应谱、相对速度反应谱和绝对加速度反应谱。可见，反应谱是具有不同周期和一定阻尼的单质点结构在地震地面运动影响下最大反应与结构自振周期的关系曲线。不同阻尼的单质点结构在地震地面运动影响下的反应过程曲线和由此得到的反应谱见图3，给定阻尼(h0)，确定反应谱的方法见图4。T2(Sa)2T3(Sa)3(Sa)1T1时间(Sa)1(Sa)2(Sa)3h0h1h3T1T2T3周期(sec)T1,h1T2,h1T3,h1地震输入加速度（b）反应波形（c）反应谱（a）阻尼常数一定，固有周期不同的单质点系加速度反应最大加速度反应反应图3地震反应谱的形成过程说明给定：结构阻尼比：h0结构自振周期：Tn地震地面加速度记录：0xmax0x计算单自由度体系绝对加速度反应时程曲线dtTexTxxntThtnn)(2sin)(2)(20000由绝对加速度反应的时程曲线确定最大的绝对加速度Sa绘制坐标为设定新的Ta值xx0)(0hTsnat的点)),((0nnaThTssaTTah=h0)(0hTsna图4反应谱曲线计算流程下一页上一页3.地震反应谱和设计反应谱(1)地震反应谱地震反应谱是根据一次地震中强震仪记录的加速度时程计算得到的谱。地震反应谱在本质上反映的是地震动强度与频谱特性，它不反映具体的结构特性。(2)设计反应谱设计反应谱是抗震设计中采用的反应谱。它是对建筑结构在其使用期限内可能经受的地震作用的预测结果，通常是根据对大量实际地震记录的反应谱进行统计分析并结合经验判断加以规定的。设计反应谱在本质上是对设计地震力的一种规定。这是因为，设计反应谱并不反映一次具体的地震动过程的特性，而是从工程设计的角度在总体上把握地震动特性。这种把握，可以是统计平均意义上的把握。也可以是严格概率意义上的把握。下一页上一页工程上，常采用相对于重力加速度的单质点绝对最大加速度，即Sa/g与体系自振周期T之间的关系作为设计用的反应谱，并将Sa/g用表示，称为地震影响系数。实际上，其中：称为地震系数，它和地面运动的强度有关，是一个反映地震动强度特性的参数，称为动力放大系数，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比地面最大加速度放大了多少倍，它可以反映地震动的频谱特性。KxSgxgSaamax0max0gxKmax0max0xSa下一页上一页(3)一致危险性反应谱一致危险性反应谱的基本含义是在不同周期处的反应谱值具有相同的超越概率值。这类反应谱源于地震危险性分析的研究工作，根据对基岩地震记录反应谱的统计分析，可以建立不同周期点的基岩地震动衰减关系。通常，取震级与距离作为统计公式中的基本变量，在给定了震级与距离的前提下，可以由基岩反应谱的衰减关系中给出具体的反应谱。这样，便有了所谓考虑震级、距离影响的基岩反应谱的概念。在地震危险性分析中，在主要周期点处分别计算参数Sa(T)的不同超越概率的地震危险性曲线，则可以从这一簇地震危险性曲线中，按照统一设定的设防概率水准给出一致危险性反应谱。下一页上一页(4)双参数标定反应谱双参数标定反应谱是利用地震动峰值加速度和峰值速度来确定反应谱的频谱特征与幅值特征的方法。它是将反应谱的频谱特征变化与幅值变化统一在一起考虑，其加速度反应谱的表达方式为：323212121TTTTTTTT0riiiiiaTvbabTvabaS(2-12)下一页上一页式中，b1,b2,b3,r为标定常数，ai,vi为地震动峰值加速度与峰值速度，T1和T2分别为反应谱的两个拐点周期，T3为计算截止周期(T3=3秒)。根据拐点处的连续条件可在T1、T2与ai、vi之间建立起定量关系，利用强震记录的归一地震反应谱的资料，经过统计给出各标定常数，尽而确定反应谱的形状。双参数标定反应谱，既适用于基岩反应谱，也适用于地表设计反应谱，所不同的仅在于ai,vi的取值和标定常数时的(T)的样本的取值不同。下一页上一页(5)拟反应谱、三联反应谱和标准反应谱由公式(2-9)、(2-10)、(2-11)可见，Sd、Sv、Sa之间存在如下简单的近似的关系：利用(2-13)式的关系，已知一种谱，所近似求得的另外的谱叫做拟（或伪）反应谱。由(2-13)式得：vvavvdSSTSSSTS212(2-13)loglogloglogloglogvavdSSSS(2-14)下一页上一页可见，这些谱的对数值和频率的对数值有一个简单的线性关系，这样就有可能把三个谱值绘制在同一坐标图上，这样的图称为三联反应谱或称三重反应谱。在实际应用中，常将各类谱值与地面地震动的最大值相比，构成一无量纲的反应谱，这类反应谱称为标准反应谱，标准反应谱的定义如下：标准加速度反应谱：标准速度反应谱：标准位移反应谱：max0xSqaamax0xSqvvmax0xSqdd下一页上一页建筑抗震设计规范(GBJ11—89)建筑抗震设计规范（以下称“建规”）中规定的设计用的α反应谱是相应于结构阻尼比h=0.05时的曲线，它是由两部分组成，在T0.1S范围内采用一条向上倾斜的直线；在0.1STTg范围内用水平线；在TgT3S范围内采用下降曲线。式中：α—地震影响系数；αmax—地震影响系数的最大值T—结构自振周期：Tg—特征周期。三、反应谱的应用max9.0TTg(2-15)kmT/2下一页上一页“建规”要求α≥0.2αmax，以确保长周期结构的安全。当T3S时，设计反应谱须另行由专门研究决定。规定地震影响系数曲线应根据远震、近震、场地的类别和结构的自振周期由图5确定。ααmax0.45αmax00.1Tg3.0T(s)(Tg/T)0.9αmax图5“建规”地震影响系数曲线下一页上一页截面抗震验算时，水平地震影响系数（小震）最大值应按表3-1确定。特征周期根据场地类别和近震、远震按表3-2确定。烈度6789αmax0.040.080.160.32表3-1“建规”截面抗震验算的水平地震影响系数最大值αma