利用空间向量解立体几何

利用空间向量解立几何一、空间角说明：以下涉及的点均为所属线或面上的任意点。在可以建立空间坐标系的前提下，以下的点的坐标可求出。1．异面直线所成的角点A，B直线a,C，D直线b。构成向量CDAB,。CDABCDABCDABCDAB,,,cos所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。例1．如图，已知直棱柱ABC-A1B1C1，在ABC中，CA=CB=1，090BCA，棱AA1=2，求异面直线BA1，CB1所成的角。2．线面所成的角AP与n的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP与平面所成的角，所以AP与n的角的余弦值的绝对值为直线AP与平面所成的角的正弦值。nAP,cosarcsin例2．棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为C1D1、B1C1的中点，(1)求证：E、F、B、D共面；(2)求点A1D与平面EFBD所成的角。OAnPnABCDABCD1111EF3．二面角的求法二面角l，平面的法向量m，平面的法向量n。nm,，则二面角l的平面角为或π。所以，nmnmnm,cos，若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则nm,为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则nm,为二面角的平面角。例2．如图，平面ABCD，ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，EC与平面ABCD成300的角。(1)求证：EG平面ABCD；(2)若AD=2，求二面角E-FG-G的度数；(3)当AD的长是多少时，点D到平面EFG的距离为2，请说明理由。二、空间距离1．点到面的距离点P到面的距离d可以看成AP在平面的法向量n的方向上的射影的长度。llnmlllmn点到面的距离线到面的距离线到线的距离面到面的距离nnAPdOAnPnEGFDCBA2．异面直线间的距离异面直线a,b之间的距离可以看成),(bFaEEF在a,b的公垂向量n的方向上的射影的长度。例4．长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC的中点，F是CC1的中点，建立空间坐标系，求(1)异面直线D1F与B1E所成角的大小；(2)二面角D1-AE-D的大小；(3)异面直线B1E与D1F的距离。3．线面距离直线a与平面平行时，直线上任意一点A到平面的距离就是直线a与平面之间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，例5．侧棱长为332，D是CB延长线上一点，且BD=BC。(1)求直线BC1与平面AB1D之间的距离；(2)求二面角B1-AD-B的大小；(3)求三棱锥C1-ABB1的体积。4．平面与平面间的距离平面与平面平行时，其中一个平面上任意一点到平面的距离就是平面与平面间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。例6．如图所示，在直三棱锥ABC-A1B1C1中，090ABC，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点。(1)求证：B1D平面ABD；(2)求证；平面EGF∥平面ABD；nnEFdEbaFnA1C1B1BACD(3)求平面EGF与平面ABD的距离。