解析几何：二次曲线的一般理论

解析几何第五章二次曲线的一般理论在平面上，由二元二次方程022233231322212211ayaxayaxyaxa所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。二次曲线的一般理论为了方便起见，特引进一些记号：33231322212211222),(ayaxayaxyaxayxF1312111),(ayaxayxF2322122),(ayaxayxF3323133),(ayaxayxF222122112),(yaxyaxayx332313232212131211aaaaaaaaaA22121211*aaaaA12111aaI221212112aaaaI3323132322121312113aaaaaaaaaI33232322331313111aaaaaaaaK二次曲线与直线的相关位置33231322212211222),(ayaxayaxyaxayxF讨论二次曲线与直线YtyyXtxx00的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后讨论关于t的方程（1）（2）0)222()()(2)2(330230132022001220112302201213012011222212211ayaxayayxaxatYayaxaXayaxatYaXYaXa（3）0),(),(),(2),(000020012yxFtYyxFXyxFtYX（4）对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：.)1()2()2()4(.0121的两个不同的实交点与二次曲线得直线，代入与有两个不等的实根方程tt.)1()2()4(.0221点有两个相互重合的实交与二次曲线，直线与有两个相等的实根方程tt.)2()4(.03的虚点二次曲线交于两个共轭与线有两个共轭的虚根，直方程),(),(),(),(,)4(.0),(.1002002001yxFYXYyxFXyxFYX的二次方程是关于此时t：，这时又可分三种情况0),(.2YX.)1()2(,)4(.0),(),(1002001实交点有唯一与二次曲线直线的一次方程关于是此时tYyxFXyxF.)1()2(,)4(.0),(.0),(),(200002001无交点与二次曲线直线是矛盾方程而yxFYyxFXyxF.)1()2(,)4(.0),(),(),(300002001上全部在二次曲线直线是恒等式此时yxFYyxFXyxF二次曲线的渐近方向定义满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向.定义没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的.1)椭圆型：I202)抛物型：I2＝03)双曲型：I20命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地（i）当2I=22211211aaaa0时，曲线有二共轭复渐近方向；（ii）当2I0时，曲线有二不同实渐近方向；（iii）当2I=0时，曲线有二相同实渐近方向．定义2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近主向的二次曲线叫做抛物型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的．二次曲线的中心与渐近线定义如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心.定理点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：)12.5(0),(0),(2302201200213012011001ayaxayxFayaxayxF推论坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：)22.5(0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标如果I2＝0，分两种情况：.)22.5(231322121211无解，没有中心时，当aaaaaa.)22.5(231322121211，这条直线叫中心直线点都是二次曲线的中心无数多解，直线上所有时，当aaaaaa定义1有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线，无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线.定义2通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线.定理二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分.二次曲线的渐近线讨论1)椭圆型曲线：2I0没有实渐近方向从而没有实渐近线，（或称有一对共轭相交虚渐近线）2)双曲型曲线：2I0有一对实渐近线3)抛物型曲线：2I＝03I≠0曲线没有中心，从而没有渐近线2I＝0,3I=0曲线为线心，渐近线就是中心直线．二次曲线的切线定义1如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点.定义2二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=0F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.定理1如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是(x-x0)F1(x0,y0)+(y-y0)F2(x0,y0)=0，(x0,y0)是它的切点.如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线.推论如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是：0)()()(330230130220012011ayyaxxayyaxyyxaxxa例1求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的切线方程解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,且F1(2,1)=5/2≠0,F2(2,1)=-2≠0所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在点(2,1)的切线方程为：5/2(x-2)-2(y-1)=0即：5x-4y-6=0二次曲线的直径定理1二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线.定义二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.推论二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行弦直径方程为F1(x,y)+kF2(x,y)=0定理2中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，即曲线的中心直线例1求椭圆或双曲线22221xyab的直径．例2求抛物线22ypx的直径．共轭方向与共轭直径中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向.定义中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径.共轭方向与共轭直径二次曲线的与非渐近方向:XY共轭的直径方向12221112::XYaXaYaXaY（1）叫做非渐近方向:XY的共轭方向，所以有1222XaXaYt，221112222121222111222221112222211221211122222,22,XYaaXaYtaaXaYaXaYtaaXaYtaaaaXaXYaYtIXYt因为:XY为非渐近方向，所以,0XY，另外又有0t，因此，当20I即二次曲线为中心曲线时，,0XY；当20I即有二次曲线为非中心曲线时，,0XY，这就是说，中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向．由（1）得二次曲线的非渐近方向:XY与它的共轭方向:XY之间的关系1112220aXXaXYXYaYY上式表明，两个方向:XY与:XY是对称的，因此，对中心曲线来说，非渐近方向:XY的共轭方向为非渐近方向:XY，而:XY的共轭方向就是:XY．定义2中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径．设YkX，YkX，则2212110akkakka如椭圆22221xyab的一对共轭直径的斜率k与k有着关系22bkka，而双曲线22221xyab的一对共轭直径的斜率k与k有着关系22bkka．定义1二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向．显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点．二次曲线的主直径与主方向主方向与主直径的求法111212220aaaa②，即2120II③，因此对于中心二次曲线来说，只要由②或③解出，再代入①就能得到它的主方向．当（1）为非中心二次曲线，那么它的任何直径的方向总是它的唯一的渐近方向．1112112212:::XYaaaa而垂直于它的方向显然为2211121222:::XYaaaa所以非中心二次曲线（1）的主方向为：渐近主方向1112112212:::XYaaaa非渐近主方向2211121222:::XYaaaa.如果把②或③推广到非中心二次曲线，即20I，③的两根为10，211122Iaa，把它代入①或②所得的主方向，正是非中心二次曲线的渐近主方向与非渐近主方向．因此，一个方向:XY成为二次曲线（1）主方向的条件是①成立，这里的是方程②或③的根．3.二次曲线的特征根定义2方程②或③叫做（1）的特征，特征方程的根叫做二次曲线的特征根．从二次曲线（1）的特征方程③求出特征根，把它代入①或①′，我们就得到相应的主方向，如果主方向为非渐近方向，那么①就能得到共轭于它的直径．定理1二次曲线的特征根都是实数．析2220II，其中11112Iaa，111221222aaIaa．定理2二次曲线的特征根不能全为零．定理3由二次曲线（1）的特征根确定的主方向:XY，当0时，为二次曲线的非渐近主方向；当0时，为二次曲线的渐近主方向．定理4中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条直径．例1求22,10Fxyxxyy的主方向与主直径．解∵1112I，2113201412I．∴曲线为中心曲线，它的特征方程为23204，解之，得112，232，由112确定的主方向为由232确定的主方向为2213::11:122XY，又因为11,2Fxyxy，21,2Fxyxy，所以曲线的主直径为11022xyxy与11022xyxy,即0xy与0xy.例2求曲线22,240Fxyxxyyx的主方向与主直径．解∵112I，211011I,∴曲线为非中心曲线，它的特征方程为220，12，20．由这两特征根所确定的主方向为：非渐近主方向11:1:211:1XY，渐近主方向22:1:011:1XY，又因此为1,2Fxyxy，2,Fxyxy，所以曲线的唯一主直径为20xyxy，即10xy二次