空间解析几何-第4章二次曲面的一般理论

第四章二次曲面的一般理论一、平面二次曲线§4.8平面二次曲线§4.8.1二次曲线方程的化简与分类00;,;,;,(,),,;,;,OijOijoooOijxyiijjOijOijo标架的原点不同中的坐标为但两标架的坐标基向量相同，即有那么标架可以看成是由标架将原点平移到点而得来的．这种坐标变换叫做移轴（坐标平移）和与，在．1.移轴00xxxyyyOO'yy'xx'xPy(),00ijij;,;,(,)(,)POijOijxyxy设是平面内任意一点，它对标架的坐标分别为则有和与，2．转轴;,;,(');,;,;,OijOijOOiiOijOOijOij若两个标架的原点相同，即但坐标基向量不同，且有则标架可以看成是由标架 绕点旋转角而得来的,这种由标架到标架的坐标变换叫做转轴（坐标旋转）．和，，，xyx'y'Oiji'j'Pcossinsincosxxyyxy(为坐标轴的旋转角)3.平面直角一般坐标变换为转轴公式，其中α为坐标轴的旋转角.00cossinsincosxxyxyxyy0000cossin(cossin)sincos(sincos)xxyxyyxyxy或4.二次曲线方程的化简和分类定理5.6.1适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：2211223311222221322132223322()0,0;()20,0;()0,0.IaxayaaaIIayaxaaIIIayaa定理5.6.2通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：2222[1]1()xyab椭圆2222[2]1()xyab虚椭圆2222[3]1()xyab双曲线2222[4]0()xyab点或相交于实点的共轭虚直线2222[5]0()xyab两相交直线2[6]2()ypx抛物线22[7]()ya两平行直线22[8]()ya两平行共轭虚直线2[9]0()y两重合直线例1已知两垂直的直线与，取为轴，为轴，求坐标变换公式。1:230lxy2:230lxy1l2l''Ox''Oy例3化简二次曲线方程并画出它的图形．225422412180xxyyxy例2化简二次曲线方程，并画出它的图形．22441210xxyyxy§4.8.2二次曲线与直线的相关位置注：1.不全为零；由二元二次方程所表示的曲线叫做二次曲线(quadraticcurve).221112221323332220axaxyayaxaya2.方程中系数的规律:下标“1”代表“x”，下标“2”代表“y”，交叉项前有2.111213,,aaa二次曲线的概念22111222132333(,)222Fxyaxaxyayaxaya1111213(,)Fxyaxaya2122223(,)Fxyaxaya3132333(,)Fxyaxaya22111222(,)2xyaxaxyay111213122223132333aaaAaaaaaa1112*1222aaAaa二次曲线的有关记号11122Iaa111221222aaIaa1112133122223132333aaaIaaaaaa11132223113332333aaaaKaaaa例写出二次曲线的矩阵A的几种常用符号222211xyab22226740xxyyxy22111222132333(,)222Fxyaxaxyayaxaya讨论二次曲线与直线00xxXtyyYt的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后讨论关于t的方程.（1）（2）二次曲线与直线的相关位置222111222110120131202202322110120022013023033(2)2()()(222)0(3)aXaXYaYtaxayaXaxayaYtaxaxyayaxaya210020000(,)2(,)(,)(,)0(4)XYtFxyXFxyYtFxy(,)0XY若，（4）是关于t的二次方程。210020000(,)(,)(,)(,)FxyXFxyYXYFxy1210.(4)(2)(2)(1).tt方程有两个不等的实根与，代入得直线与二次曲线的两个不同的实交点1220.(4)(2)(1).tt方程有两个相等的实根与，直线与二次曲线有两个相互重合的实交点30.(4)(2).方程有两个共轭的虚根，直线与二次曲线交于两个共轭的虚点2.(,)0XY，这时又可分三种情况：1002001(,)(,)0.(4),(2)(1).FxyXFxyYt此时是关于的一次方程直线与二次曲线有唯一实交点100200002(,)(,)0.(,)0.(4),(2)(1).FxyXFxyYFxy而是矛盾方程直线与二次曲线无交点100200003(,)(,)(,)0.(4),(2)(1).FxyXFxyYFxy此时是恒等式直线全部在二次曲线上§4.8.3二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1.二次曲线的渐近方向定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向(asymptoticdirection)，否则叫做非渐近方向(nonasymptoticdirection).定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型曲线(ellipticquadraticcurve)，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型曲线(parabolicquadraticcurve)，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型曲线(hyperbolicquadraticcurve).椭圆型曲线：抛物型曲线:双曲型曲线：111222122111222122111222122000aaIaaaaIaaaaIaa2.二次曲线的中心与渐近线定义5.2.3如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心(centralpoint).定理5.2.1点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：1001101201320012022023(,)0(,)0FxyaxayaFxyaxaya推论坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：11112132122223(,)0(*)(,)0FxyaxayaFxyaxaya如果I2≠0，则(*)有唯一解，即为唯一中心坐标如果I2＝0，分两种情况：131112122223(*).aaaaaa当时，无解，没有中心131112122223(*).aaaaaa当时，无数多解，直线上所有点都是二次曲线的中心，这条直线叫中心直线定义5.2.4有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线(centralconic)，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线(noncentralconic)，有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线(linecentralconic)，无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线(non-centralconic).定义5.2.5通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线(asymptoticline).定理5.2.2二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分.§4.8.4二次曲线的切线定义5.3.1如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线(tangent)，这个重合的交点叫做切点(tangentpoint)，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点.定义5.3.2二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点(singularpoint)，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点(properpoint).定理5.3.1如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是(x-x0)F1(x0,y0)+(y-y0)F2(x0,y0)=0，(x0,y0)是它的切点.如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线.推论如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是：110120022013023033()()()0axxaxyxyayyaxxayya证明：设M0(x0，y0)是二次曲线（1)上的任一点，则过M0的直线l的方程总可以写成下面的形式：00xxXtyyYt⑵当(X,Y)≠0时，必须使判别式210020000Δ[(,)(,)](,)(,)0XFxyYFxyXYFxy100200(,)(,)0XFxyYFxy在二次曲线上，，上式变为000(,)Mxy00(,)0Fxy)200100:(,):[(,)]XYFxyFxy因此过二次曲线上的点的切线方程为02000100(,)(,)xxFxytyyFxyt00200100(,)(,)xxyyFxyFxy01000200()(,)()(,)0xxFxyyyFxy即：000(,)Mxy例1求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的切线方程例2求二次曲线通过点(2,1)的切线方程2210xxyy解：设切点为00(,)xy，则切线方程为：00001()102xxxyxyyy，且00210xy，22000010xxyy解得0010xy与0011xy，切线方程为：220xy与20xy。§4.8.5二次曲线的直径一.二次曲线的直径定理5.4.1二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线.00xxXtyyYt210020000(,)2[(,)(,)](,)0XYtXFxyYFxytFxy由条件可得：100200(,)(,)0XFxyYFxy120tt证明：设是二次曲线的一个非渐近方向，即而是平行于方向的弦的中点，过的弦为(,)0xy00(,)xy:XY:XY00(,)xy12(,)(,)0XFxyYFxy111212221323()()0aXaYxaXaYyaXaY（1）这说明平行于方向的弦的中点的坐标满足方程:XY00(,)xy反过来，如果点满足方程（1），那么方程（2）将有绝对值相等而符号相反的两个根，点就是具有方向的弦的中点，因此方程（1）为一族平行于某一非渐近方向的弦的中点轨迹的方程．00(,)xy00(,)xy:XY:XY推论二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行弦直径方程为F1(x,y)+kF2(x,y)=0定理5.4.2中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，即曲线的中心直线定义5.4.1二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的直径(diameter)，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦(conjugatechords)；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.（a）中心曲线，直径是中心直线束（b）无心曲线，直径是平行直线束（c）线心曲线，直径是一条直线例1求椭