线性代数超强总结

1()0ArAnAAxAA不可逆有非零解是的特征值的列（行）向量线性相关12()0,,TsinArAnAxAAAAAAAppppAx可逆只有零解的特征值全不为零的列（行）向量线性无关是正定矩阵与同阶单位阵等价是初等阵总有唯一解R具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同√关于12,,,neee：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量；②12,,,neee线性无关；③12,,,1neee；④tr()=En；⑤任意一个n维向量都可以用12,,,neee线性表示.√行列式的计算：①若AB与都是方阵（不必同阶）,则(1)mnAAAABBBBAABB②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：(1)211212112111(1)nnnnnnnnnnnaaaaaaaaa√逆矩阵的求法:①1AAA2②1()()AEEA初等行变换③11abdbcdcaadbcTTTTTABACCDBD④12111121naanaaaa21111211naanaaaa⑤11111221nnAAAAAA11121211nnAAAAAA√方阵的幂的性质：mnmnAAA()()mnmnAA√设1110()mmmmfxaxaxaxa，对n阶矩阵A规定：1110()mmmmfAaAaAaAaE为A的一个多项式.√设,,mnnsABA的列向量为12,,,n,B的列向量为12,,,s，AB的列向量为12,,,srrr,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.iissTnnniiiirAisAAAAABbbbAbbbABirAABirB则：即用中简若则单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量√用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：11112222,kkkkABABABAB311112222kkkkABABABAB√矩阵方程的解法：设法化成AXBXAB(I)或(II)当0A时,,BABEX初等行变换（当为一列时(I)的解法：构造()()即为克莱姆法则）TTTTAXBXX(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得√Ax和Bx同解（,AB列向量个数相同）,则：①它们的极大无关组相对应,从而秩相等；②它们对应的部分组有一样的线性相关性；③它们有相同的内在线性关系.√判断12,,,s是0Ax的基础解系的条件：①12,,,s线性无关；②12,,,s是0Ax的解；③()snrA每个解向量中自由变量的个数.①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.⑥向量组12,,,n中任一向量i(1≤i≤)n都是此向量组的线性组合.⑦向量组12,,,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余1n个向量线性表示.向量组12,,,n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余1n个向量线性表示.4⑧m维列向量组12,,,n线性相关()rAn；m维列向量组12,,,n线性无关()rAn.⑨()0rAA.⑩若12,,,n线性无关，而12,,,,n线性相关,则可由12,,,n线性表示,且表示法惟一.⑪矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.向量组等价12,,,n和12,,,n可以相互线性表示.记作：1212,,,,,,nn矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.记作：AB⑬矩阵A与B等价()(),rArBAB作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价1212(,,,)(,,,)nnrr1212(,,,,,,)nnr矩阵A与B等价.⑭向量组12,,,s可由向量组12,,,n线性表示1212(,,,,,,)nsr12(,,,)nr12(,,,)sr≤12(,,,)nr.⑮向量组12,,,s可由向量组12,,,n线性表示,且sn，则12,,,s线性相关.向量组12,,,s线性无关,且可由12,,,n线性表示,则s≤n.⑯向量组12,,,s可由向量组12,,,n线性表示,且12(,,,)sr12(,,,)nr,则两向量组等价；⑰任一向量组和它的极大无关组等价.⑱向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.⑲若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.5⑳若A是mn矩阵,则()min,rAmn,若()rAm，A的行向量线性无关；若()rAn，A的列向量线性无关,即：12,,,n线性无关.线性方程组的矩阵式Ax向量式1122nnxxx1112111212222212,,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxb12,1,2,,jjjmjjn61212120,,,0,,,()(),,,AnAnnAxAxAnAxAxAAxrArAn当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关12()(),,,()()()1()AnrArAAxrArArArA当为方阵时克莱姆法则不可由线性表示无解矩阵转置的性质：()TTAA()TTTABBA()TTkAkATAA()TTTABAB矩阵可逆的性质：11()AA111()ABBA111()kAkA11AA11()()TTAA11()()kkkAAA伴随矩阵的性质：2()nAAA()ABBA1()nkAkA1nAA11()()()()AATTAAAA()()kkAAAAAAAE()()1()10()1nrAnrArAnrAn若若若ABABnkAkAkkAA7线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)kkkkAxAxkkAxkAxAxAxAxAx是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100kkkkkkkAxAxAxAxAx是的解则也是它的解是其导出组的解是的解则也是的解是的解√设A为mn矩阵,若()rAm,则()()rArA,从而Ax一定有解.当mn时,一定不是唯一解.方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m是()()rArA和的上限.√矩阵的秩的性质：①()()()TTrArArAA②()rAB≤()()rArB③()rAB≤min(),()rArB④()0()00rAkrkAk若若⑤()()ArrArBB⑥0,()ArA若则≥1⑦,,()0,()()mnnsABrABrArB若且则≤n⑧,()()()PQrPArAQrA若可逆,则⑨,()()ArABrB若可逆则,()()BrABrA若可逆则⑩(),()(),rAnrABrB若则且A在矩阵乘法中有左消去律:80ABBABACBC标准正交基n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.与正交(,)0.是单位向量(,)1.√内积的性质：①正定性：(,)0,(,)0且②对称性：(,)(,)③双线性：1212(,)(,)(,)1212(,)(,)(,)(,)(,)(,)ccc施密特123,,线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()正交化单位化：111222333正交矩阵TAAE.√A是正交矩阵的充要条件：A的n个行（列）向量构成n的一组标准正交基.√正交矩阵的性质：①1TAA；②TTAAAAE；③A是正交阵,则TA（或1A）也是正交阵；④两个正交阵之积仍是正交阵；⑤正交阵的行列式等于1或-1.A的特征矩阵EA.9A的特征多项式()EAf.A的特征方程0EA.AxxAxx与线性相关√上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.√若0A,则0为A的特征值,且0Ax的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量.√12nA1niAtr√若()1rA,则A一定可分解为A=1212,,,nnaabbba、21122()nnAabababA,从而A的特征值为：11122nnAabababtr,230n.√若A的全部特征值12,,,n，()fx是多项式,则:①()fA的全部特征值为12(),(),,()nfff；②当A可逆时,1A的全部特征值为12111,,,n,A的全部特征值为12,,,nAAA.√1122,.mmAkkAabaAbEAAAAA是的特征值则:分别有特征值√1122,mmAkkAabaAb