拓扑共轭、符号动力系统和马蹄映射

混沌理论与应用自动化学院禹思敏2012.10三.拓扑共轭、符号动力系统和马蹄映射自动化学院SchoolofAutomation21.拓扑共轭0）满射和1-1满射的概念满射的定义：设F是AB→内的映射。如果B中的每一个元素都一定是A中某个元素的映象，就称F是AB→上的满射。特别地，AA→上的满射称为变换。例1设{1,2,3,4,5}A=，{,,,}Babcd=，则下面左边图所示的映射:FAB→是满射，但不是1-1满射。例2设{1,2,3}A=，{,,,}Babcd=，则下面右边图所示的映射:FAB→不是满射，因为B中的元素d不是A中某个元素的映象。AB12345abcdAB123abcd例1是:FAB→的满射例2不是:FAB→的满射自动化学院SchoolofAutomation31.拓扑共轭例3设{1,2,3,4}A=，{,,,}Babcd=，下面左边图所示映射:FAB→是1-1满射。例4设{1,2,3,4,5}A=，{,,,}Babcd=，下面右边图所示映射:FAB→也是1-1满射AB1234abcdAB12345abcd例3是:FAB→的1-1满射例4也是:FAB→的1-1满射自动化学院SchoolofAutomation41.拓扑共轭1）复合映射的基本概念及其表示方法若存在两个N维映射,FG（即,NFGR∈），通常用GFxGF=))((表示NNRR→的复合映射。对于离散时间系统来说，每一次迭代运算就是一次映射。那么，如果存在映射NFR∈自身的n次正向迭代)(xFFFFn个我们将其记为)()(xFn。同理，若()Fx的逆函数1()NFxR−∈存在，那么，映射NFR∈自身的n次逆向迭代)(1111xFFFFn个−−−−我们将其记为)()(xFn−。在一般情况下，若无特别说明，用右上角记号)(n（或者n）表示n次正向迭代，用右上角记号)(n−（或者n−）表示n次逆向迭代。用这两个记号表示离散系统)(1nnxFx=+正向和逆向迭代。例如，若初值为0x，得)(01xFx=，)(,),())(()(0)(0)2(012xFxxFxFFxFxnn====等等。自动化学院SchoolofAutomation51.拓扑共轭2）同胚和微分同胚定义1：设VUF→:是1-1满射，若)(xF连续，)(1xF−也连续，则称)(xF是U到V的一个同胚；若)(xF和)(1xF−不仅连续，而且还可微，则称)(xF是U到V的一个微分同胚。3）拓扑共轭在动力系统中，有一个重要的方法，即利用拓扑共轭将较为复杂的动力系统转化为较为简单的动力系统。定义2：设A和B是两个拓扑空间，BBgAAf→→:,:分别是A与B上的自映射，如果存在A到B的同胚BAh→:，使得hfgh=则称f与g是拓扑共轭的。另一方面，对上式作如下变换，得111111()()hhfhhghhfhhg−−−−−−=→=自动化学院SchoolofAutomation61.拓扑共轭这一概念可直观理解为：把拓扑空间A，B理解为直线段、曲线弧、空间区域或曲面等具体的几何对象，同胚则理解为A与B之间的连续的一一映射。当f与g拓扑共轭时，记作gf~，或者为了强调h的作用，写成gfh~。拓扑共轭关系是一种等价关系，也就是说，它满足以下三条（1）反身性。f与f是拓扑共轭的，即ff~；（2）对称性。若gf~，则fg~；（3）传递性。若gf~，ϕ~g，则ϕ~f。自动化学院SchoolofAutomation71.拓扑共轭因此，将拓扑共轭的自映射归入同一类，称为拓扑共轭类。属于同一个拓扑共轭类的自映射，它们的迭代轨道有着相同性质。这是因为，当gfh~时，可得))(())(()()()()(xhgxfhhgfhnnnn=→=这表明在同胚h作用下，f在A中的x的轨道}),(,),(),(,{)()()2(xfxfxfxxOn=+变成了g在B中的()hx的轨道})),((,)),(()),((),({))(()()2(xhgxhgxhgxhxhOn=+若f有不动点∗x，则g有不动点)(∗xh，若∗x是f为吸引（排斥）不动点，则)(∗xh是g的吸引（排斥）不动点。若f有周期k轨道},,,,{1210−kxxxx，则g也有周期k轨道)}(,),(),(),({1210−kxhxhxhxh等等。总之，涉及到动力系统研究中所感兴趣的一切性质，f与g都可看作是一样的。因此，当研究一个自映射的动力系统性质时，可以用与它拓扑共轭的较为简单的自映射代替它。自动化学院SchoolofAutomation81.拓扑共轭例如，已知抛物线映射()4(1)gxxx=−，式中]1,0[∈x。试证明()gx与帐篷映射()fx2,01/2()2(1),1/21xxfxxx≤≤=−≤是拓扑共轭的。证明如下：考虑映射2()sin2xhxπ=，]1,0[∈x易见)(xh是[0,1]到[0,1]的同胚映射，且22222222222()4sin1sin4sincos2sincossin()2222222()sinsin(),[0,1/2]22(1)()sinsin()sin(),[1/22xxxxxxghxxxhfxxxxhfxxxxπππππππππππππ=−===⋅==∈⋅−==−=∈,1]即hfgh=，亦即)(xf与)(xg是拓扑共轭的。这样，)(xf与)(xg的动力学特性是完全相同的。为了研究()4(1)gxxx=−，只需研究比较简单的映射()fx即可。（注意上面的第一个式子简化用到了三角公式sin2sin(/2)cos(/2)xxx=）自动化学院SchoolofAutomation91.拓扑共轭4）拓扑共轭的意义许多离散系统，如帐篷映射、抛物线映射、离散正弦映射等属于单峰映射。但它们的迭代轨道有相同性质，是拓扑共轭的，它们的动力学性质相同，属于同一拓扑类，因此，可将它们的研究转化为一类比较简单的动力系统（如符号动力系统）的研究。例如帐篷映射可转化为符号动力系统来研究，将它搞明白了，其它单峰映射也就清楚了。为了理解序列空间中距离的定义，首先给出1,2,,p∞四种向量范数的定义如下：=======∑∑∑∑=≤≤∞===pnipipininiiniiiHniixxxxxx111121211max||α||||α||αα|α|||α||||α||自动化学院SchoolofAutomation102.符号动力系统定义3：212{|(),{0,1},1,2,}isssssi==∈=∑称两个符号0和1的序列空间，并且对于∑2中的任意两个元素12()sss=和12()ttt=，距离（1-范数）的定义为：1||(,)[0,1]2iiiistdst∞=−=∈∑定理1：设∑∈2,ts，若,(1,2,,)iistin==，则ntsd21),(≤。反之，若1(,)2ndst≤，则必有,(1,2,,)iistin==。证明：若,(1,2,,)iistin==，则111111||||||112(,)12222212nniiiiiiiiiiniinininstststdst∞∞∞+==+=+=+−−−=+=≤==−∑∑∑∑另一方面，若对于某一个nm≤，mmts≠，则必有ntsd21),(≥，这与1(,)2ndst≤矛盾。故若1(,)2ndst≤，则必有,(1,2,,)iistin==。自动化学院SchoolofAutomation11这个结论重要意义在于我们可以很快地判定两个序列是否相互接近，直观上该结果说明∑2中两个序列是接近的，只要它们前面相当多的项是一致的。在此基础上，进一步引入符号空间中最重要的映射——移位映射。定义4：映射σ：∑2→∑2由1223()()()sssssσσ==给出，σ叫做∑2上的移位映射，由σ所确定的离散动力系统称为符号动力系统，用符号()2,σ∑来表示。根据定义4，s相当于连续函数中的自变量x，则σ(s)相当于连续函数中的f(x)，而移位映射的结果是简单地“忘掉”序列中的第一项，把其它的一切项向左移一位。2.符号动力系统自动化学院SchoolofAutomation12定理2：σ：∑2→∑2连续。在证明之前，回顾一下连续的定义。若对任意给定的0ε，总存在0δ，当δ−||0xx时，不等式ε−|)()(|0xfxf恒成立，则函数)(xf在0x点连续，即满足)()(lim00xfxfxx=→。证明：在∑2中取12()sss=，任给0ε，取自然数n，使得εn21，并令121+=nδ，故对于满足δ),(tsd（相当于δ−||0xx）的任意12()ttt=，由定理1知，(1,2,,1)iistin==+，即s和t的前1n+项相同，而)(sσ和)(tσ则分别是将原序列左移一位的结果，因而)(sσ与)(tσ的前n项相同，从而可得εσσ≤ntsd21))(),((（相当于ε≤−nxfxf21|)()(|0），即σ是连续的。2.符号动力系统自动化学院SchoolofAutomation13定义5：称1212()mmsssssss=为∑2中的周期m点。这是显而易见的，因为只需将s左移m位之后与原来的s相等，即满足()mssσ=，故s为∑2中的周期m点。定理3：σ的周期点在∑2中稠密。证明：根据稠密的定义，设12()sss=为∑2中的任意一点，任意给定0δ，我们只需要证明在s的δ邻域内存在周期点即可。事实上，对于任意给定0δ，取自然数m使得δm21，令周期点12121()mmtsssssss=，则1(,)2mdstδ≤，这正好说明t位于s的δ邻域内，并且是在s的δ邻域内寻找到的周期点。根据稠密的概念，从而证明了σ的周期点在∑2中稠密。2.符号动力系统自动化学院SchoolofAutomation14定理4：符号动力系统σ：∑2→∑2具有拓扑传递性。证明方法一：根据前面的拓扑传递性质可知，拓扑传递性指从某点s∗出发，它的迭代序列一定会“跑遍”整个∑2空间。换言之，任意给定∑2中的点121()nnsssss+=，从某点s∗出发，经多次迭代（在这里即为移位σ）后，必能任意接近点s，又因s在∑2空间中位置的一般性，从而可推出从某点s∗出发，它的迭代序列一定会“跑遍”整个∑2空间的结论成立。关键在于要证明点s∗在∑2中是存在的。事实上，我们只需选取点∑∈∗2s1231231231212111212121211212312*1201000110110000011110011nnnsssssssssssssssssssssssssnsssssssssssss=所有的所有的所有的所有的2.符号动力系统自动化学院SchoolofAutomation152.符号动力系统显然，对1212()nnsssss+∀=∈∑，k∃，使得()*()ksσ中的前n位与s中的前n位完全相同，从而满足nkssd21)),((*)(≤σ。由于n可以事先取得任意大以及n和s的任意性，并且∗s经过σ的多次移位后，∗s必可以和1212()nnsssss+=∈∑任意接近，从而证明符号动力系统σ：∑2→∑2具有拓扑传递性。因σ移位下的∗s轨道(2)(3)()(){,(),(),(),,(),}nOssssssσσσσ+∗∗∗∗∗∗=具有拓扑传递性，并且这些轨道点稠密地分布在整个∑2空间，我们又称这条轨道为稠轨道。自动化学院SchoolofAutomation162.符号动力系统证明方法二：符号动力系统σ：∑2→∑2具有拓扑传递性，具体指的是对于∑2上的任一对开集AU（以点As为中心，Ar为半径的球体）和BU