一次函数、二次函数、幂函数模型应用

3.2.2函数模型的应用实例第1课时一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例类型一一次函数模型的应用实例1.某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后,峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h,谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h.对于一个平均每月用电量为200kW·h的家庭,要使节省的电费不少于原来电费的10%,则这个家庭每月在峰时段的平均用电量()A.至少为82kW·hB.至少为118kW·hC.至多为198kW·hD.至多为118kW·h2.某商人购货,进价按原价a扣去25%,他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利,则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是.【解题指南】1.分析题意,明确各个量之间的关系,建立峰时段用电量与总电量之间的关系式,根据原来电量和总电量的不等式关系,求解.2.关键是弄清利润=(售价-进价)×件数,本题数学模型为一次函数.【自主解答】1.选D.①原来电费y1=0.52×200=104(元).②设峰时段用电量为xkW·h,总电费为y,则y=0.55x+(200-x)×0.35=0.2x+70,由题意知0.2x+70≤(1-10%)y1,所以x≤118.所以这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kW·h.2.设新价为b，则售价为b(1-20%)，因为原价为a，所以进价为a(1-25%)，根据题意，得b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)25%.化简，得所以y=b·20%·x=a·20%·x,即y=x(x∈N*).答案：y=x(x∈N*)5ba4，54a4a4【规律总结】1.对一次函数解析式的三点说明解析式:y=kx+b(k≠0).(1)一次项的系数k≠0.(2)b=0时,y是x的正比例函数,即y=kx(k为非零常数).(3)b0时,直线必经过一、二象限;b=0时,直线必经过原点;b0时,直线必经过三、四象限.2.一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.(2)解一次函数模型时,注意待定系数法的应用,主要步骤是:设元、列式、求解.【变式训练】一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数,它的解析式为()A.y=20-x(x≤10)B.y=20-2x(x10)C.y=20-x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5x10)【解析】选D.由题意y=20-2x,且20-2x0,2x20-2x,即y=20-2x(5x10).类型二二次函数模型的应用实例1.(2013·成都高一检测)某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元.每提高一个档次,利润每件增加2元,但每提高一个档次,在相同的时间内,产量减少3件,如果在规定的时间内,最低档次的产品可生产60件,则在同样的时间内,生产哪一档次的产品的总利润最大?()A.10B.9C.8D.72.(2013·成都高一检测)某企业实行裁员增效.已知现有员工a人,每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元,据评估在生产条件不变的条件下,每裁员一人,则留岗员工每人每年可多创收0.01万,但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费,并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的,设该企业裁员x人后年纯收益为y万元.34(1)写出y关于x的函数关系式,并指出x的取值范围.(2)当140a≤280时,问该企业应裁员多少人,才能获得最大的经济效益?(注:在保证能取得最大经济效益的情况下,能少裁员,应尽量少裁.)【解题指南】1.设生产x档次的产品,列出总利润关于x的二次函数关系式,求其最大值.2.仔细阅题,明确理解题意,寻找等量关系,裁员x人后留岗员工为(a-x)人,留岗员工每人每年创收(1+0.01)万元.【自主解答】1.选B.设生产x档次的产品的总利润为y,依题意得y=[8+(x-1)×2][60-3(x-1)]=6(-x2+18x+63)=6[-(x-9)2+144](1≤x≤10).故当x=9时,总利润取最大值.2.(1)由题意可得y=(a-x)(1+0.01x)-0.4x=因为a-x≥所以x≤即x的取值范围是(0,］中的自然数.21a140x()xa,1001001003a,41a.4a4(2)因为y=且140a≤280，所以当a为偶数时，y取最大值.当a为奇数时，y取最大值.(因为尽可能少裁人，所以舍去)答：当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益，当员工人数为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益.221a1ax(70)(70)a10021002［］，ax702，a1x702，a1x70.2a(70)2a1(70)2【规律总结】二次函数模型应用题的解法(1)理解题意,设定变量x,y.(2)建立二次函数关系,并注明定义域.(3)运用二次函数相关知识求解.(4)回归到应用问题中去,给出答案.【变式训练】某车间生产某种产品,固定成本为2万元,每生产一件产品,成本增加100元,已知总收益R(总收益指工厂出售产品的全部收入,它是成本与总利润的和,单位:元)是年产量Q(单位:件)的函数,满足关系式:R=f(Q)=求每年生产多少产品时,总利润最大?此时总利润是多少元?21400QQ,0Q400,280000,Q400.【解析】y=R-100Q-20000=Q∈Z.(1)0≤Q≤400时,y=-(Q-300)2+25000,当Q=300时,ymax=25000.(2)Q400时,y=60000-100Q20000,综合(1)(2),当每年生产300件产品时,总利润最大,为25000元.21300QQ20000,0Q400,260000100Q,Q40012类型三幂函数模型的应用实例1.某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是()(下列数据仅供参考：)A.38%B.41%C.44%D.73%3621.4131.7331.4461.38＝，＝，＝，＝2.某人2013年1月1日到银行存入一年期存款a元,若年利率为x,按复利计算,到2016年1月1日,可取回款元.()A.a(1+x)3B.a(1+x)4C.a+(1+x)3D.a(1+x3)【解题指南】1.翻三番指的是原有工资的8倍,根据每年比上一年平均增长的百分率相同,可以列出幂函数的关系式.2.复利指的是每年的利息在下一年作为本金再计算利息,故列出2016年的存款本息和可得.【自主解答】1.选B.设职工原工资为p,平均增长率为x,则p(1+x)6=8p,x=-1=-1≈41%.2.选A.2014年1月1日本利和为a(1+x);2015年1月1日本利和为a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2;2016年1月1日本利和为a(1+x)3.682【延伸探究】题2中,把复利改为单利,可取回款多少元?【解析】单利指的是每年的利息相同,则一共可取回款a(1+3x)元.【规律总结】幂函数模型解析式的两种类型及求解方法(1)已知函数解析式形式:用待定系数法求解.(2)解析式形式未知:审清题意,弄清常量,变量等各元素之间的关系,列出两个变量x,y之间的解析式,进而解决问题.【拓展延伸】解函数应用问题的基本步骤第一步:阅读理解,审清题意.读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题.第二步:引进数学符号,建立数学模型.一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量,并用x,y和辅助变量表示各相关量,然后根据问题已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,将实际问题转化为函数问题,即所谓建立数学模型.第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得其解.第四步:将所得数学问题的解再转译成具体问题的结果.